已知椭圆x²/a²+y平方/b平方=1(a＞b＞0)的离心率是(根号6)/3,F是其左焦点,若直线x-(根号6)y=0与椭圆交于A、B两点,且向量FA·向量FB=-1,求该椭圆的方程.

已知椭圆x²/a²+y平方/b平方=1(a＞b＞0)的离心率是(根号6)/3,F是其左焦点,若直线x-(根号6)y=0与椭圆交于A、B两点,且向量FA·向量FB=-1,求该椭圆的方程.
已知椭圆x²/a²+y平方/b平方=1(a＞b＞0)的离心率是(根号6)/3,F是其左焦点,若直线x-(根号6)y=0与椭圆交于A、B两点,且向量FA·向量FB=-1,求该椭圆的方程.

已知椭圆x²/a²+y平方/b平方=1(a＞b＞0)的离心率是(根号6)/3,F是其左焦点,若直线x-(根号6)y=0与椭圆交于A、B两点,且向量FA·向量FB=-1,求该椭圆的方程.
椭圆x²/a²+y²/b²=1
离心率e=c/a=√6/3
∴c²/a²=6/9=2/3
∴a²=3/2c²
∴b²=a²-c²=1/2c²
∴椭圆方程为x²/(3/2c²)+y²/(1/2c²)=1
即2x²+6y²=3c²
{x-(√6)y=0
｛2x²+6y²=3c²
==>
12y²+6y²=3c²
==> y²=c²/6,x²=c²
设A(x1,y1),B(x2,y2),F(-c,0)
∴x1+x2=0,x1x2=-c²,y1y2=-c²/6
又FA●FB=-1
∴(x1+c,y1)●(x2+c)=-1
∴x1x2+(x1+x2)c+c²+y1y2=-1
∴-c²+c²-c²/6=-1
∴c²=6
∴椭圆方程为2x²+6y²=18
即x²/9+y²/3=1

(1)短轴一个端点到右焦点距离为√3，即a=√3，因为√3=√(b²+c²)=a所以e=c/a=√6/3，所以c=√2
所以b²=a²-c²=1
所以方程为：x²/3+y²=1
(2)两种情况分类讨论①当直线l斜率不存在时，l方程为：x=±√3/2，此时代入椭圆方程得：y=±√3/2所以|AB|=√3，S...

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(1)短轴一个端点到右焦点距离为√3，即a=√3，因为√3=√(b²+c²)=a所以e=c/a=√6/3，所以c=√2
所以b²=a²-c²=1
所以方程为：x²/3+y²=1
(2)两种情况分类讨论①当直线l斜率不存在时，l方程为：x=±√3/2，此时代入椭圆方程得：y=±√3/2所以|AB|=√3，S△=3/4
②当斜率存在时，l方程为y=kx+b，O到直线距离d=|b
|/√(1+k²)=√3/2.
所以b=±3(1+k²)/4，由椭圆对称性现在只讨论b>0情况，即b=√(3+3k²)/2.y=kx+√(3+3k²)/2与x²/3+y²=1联立整理得：
(1+3k²)x²+6k√(3+3k²)x+(3k²-3)/4=0
x1+x2=-6k√(3+3k²)/(1+3k²)，x1x2=(3k²-3)/(4+12k²)
|AB|=|x1-x2|√(1+k²)=√[(x1+x2)²-4x1x2]√(1+k²)
运算得|AB|=√(99k^4+114k²+3)/(1+3k²)
令k²=t则|AB|=f(t)=√3√(33t²+38t+1)/(1+3t)，f'(t)=0时解得t=2/3，此时f(t)为极大值。此时k²=2/3，|AB|=√123/3，S=√41/4>3/4
所以S△AOB最大值为√41/4。
复制答案于：http://zhidao.baidu.com/question/2051760636674511427.html

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