设椭圆的中心在坐标原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,过椭圆外一点m（0,2）作直线l交椭圆与A,B两点若△AOB的面积最大值为根号2,求此椭圆方程和直线l的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:28:01
设椭圆的中心在坐标原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,过椭圆外一点m（0,2）作直线l交椭圆与A,B两点若△AOB的面积最大值为根号2,求此椭圆方程和直线l的方程.
设椭圆的中心在坐标原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,过椭圆外一点m（0,2）作直线l交椭圆与A,B两点
若△AOB的面积最大值为根号2,求此椭圆方程和直线l的方程.
设椭圆的中心在坐标原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,过椭圆外一点m（0,2）作直线l交椭圆与A,B两点若△AOB的面积最大值为根号2,求此椭圆方程和直线l的方程.
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1
c/a=√2/2
c²/a²=1/2
a²=2c²
a²=b²+c²
所以b²=c²
椭圆方程：x²/2b²+y²/b²=1
x²+2y²=2b²
设直线为y=kx+2
代入
x²+2(k²x²+4kx+4)=2b²
(1+2k²)x²+8kx+8-2b²=0
x1+x2=-8k/(1+2k²)
x1*x2=(8-2b²)/(1+2k²)
原点到直线AB的距离d=2/√(1+k²)
S△AOB=1/2×AB×d=1/√(1+k²)×√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
令t=(x1+x2)²-4x1x2=64k²/(1+2k²)²+4(2b²-8)/(1+2k²)
=(64k²+8b²-32+16k²b²-64k²)/(1+2k²)²
=[8b²(1+2k²)-32]/(1+2k²)²
=8b²/(1+2k²)-32/(1+2k²)²
令u=1/(1+2k²)
t=8b²u-32u²
=-32(u²-b²u/4)
=-32(u-b²/8)²+b^4/2
t为二次函数
当u=b²/8时,t有最大值b^4/2
S=b²/√2
根据题意
b²/√2=√2
b²=2
a²=2b²=4
椭圆方程：x²/4+y²/2=1
此时1/(1+2k²)=2/8
1+2k²=4
k²=3/2
k=±√6/2
直线方程：y=±√6/2x+2
即±√6x-2y+4=0