椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点(1) 求1/a^2+1/b^2的值（2）若椭圆离心率e满足根号3/3小于等于e小于等于根号2/2,求椭圆长轴的取值范围

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点(1) 求1/a^2+1/b^2的值（2）若椭圆离心率e满足根号3/3小于等于e小于等于根号2/2,求椭圆长轴的取值范围
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点
(1) 求1/a^2+1/b^2的值
（2）若椭圆离心率e满足根号3/3小于等于e小于等于根号2/2,求椭圆长轴的取值范围

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点(1) 求1/a^2+1/b^2的值（2）若椭圆离心率e满足根号3/3小于等于e小于等于根号2/2,求椭圆长轴的取值范围
把x+y=1代入x^2/a^2+y^2/b^2=1
（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2-b^2=0
X1+X2=2a^2/(a^2+b^2) X1X2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2
OP.OQ=0=>X1X2+Y1Y2=0=>2a^2b^2=a^2+b^2
1/a^2+1/b^2=a^2+b^2/a^2b^2=2 （*）
√3/3

设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0（2分）
∵y1=1-x1，y2=1-x2
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0 ①
又将y=1-x
代入x^2 \ a^2 +y^2\ b^2=1
可得（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2（1-b^2）=0
∵ △＞0...

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设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0（2分）
∵y1=1-x1，y2=1-x2
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0 ①
又将y=1-x
代入x^2 \ a^2 +y^2\ b^2=1
可得（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2（1-b^2）=0
∵ △＞0
∴ x1+x2=2a^2 \ a^2+b^2
x1x2=a^2(1-b^2) \ a^2+b^2 （4分）
代入①化简得
1 \a^2+1\ b^2 =2．（6分）
（2） ∵e2=c^2\ a^2 =1-b^2 \a^2
∴1\ 3 ≤1-b^2\ a^2≤1\ 2
∴1\2 ≤ b^2 \a^2 ≤2\3 （8分）
又由（1）知b^2=a^2\ 2a^2-1 （9分）
∴1\2≤1\ 2a^2-1 ≤2\3
∴√5\2 ≤a≤√6\2，（11分）
∴长轴 2a∈[√ 5 ，√ 6 ]．（12分）

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