如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小用处2的方法求
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 04:17:23
如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小用处2的方法求
如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小
用处2的方法求
如图,凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且AC垂直BD,已知 OA大于OC,OB>OD.试比较BC+AD,AB+CD的大小用处2的方法求
解法一：
证明：在OA上截取OC′=OC,在OB上截取OD′=OD,
连接C′D′,AD′,BC′,设BC′、AD′交于E,
易证△COD≌△C′OD′（SAS）,
所以CD=C′D′,
易证△AOD≌△AOD′,△COB≌△C′OB（SAS）,
所以AD=AD′,CB=C′B,
在△C′D′E中,C′E+D′E＞C′D′①
在△ABE中,AE+BE＞AB②
①+②得AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′,
所以AD′+BC′＞AB+CD,
所以AD+BC＞AB+CD．
解法二：
由勾股定理得：(BC+AD)-(AB+CD)=（BC-AB）+（AD-CD)
=(√OB^2+OC^2-√OA^2+OB^2)+(√OA^2+OD^2-√OC^2+OD^2 )=(OC^2-OA^2)/
(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2)+(OA^2-OC^2)/√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2 )
=(OA^2-OC^2)(1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)-1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2)
因为OB＞OD,所以√OA^2+OB^2＞√OA^2+OD^2,√OB^2+OC^2＞√OC^2+OD^2
所以 √OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2＞√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2
所以 1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)＞1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2
又因为 OA＞OC ,所以 OA^2-OC^2＞0 ,所以 BC+AD ＞ AB+CD