已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该...已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该抛

已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该...已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该抛
已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该...
已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；(2)求线段BC的中点M的坐标;(3)求BC所在的直线的方程.

已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该...已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,三角形ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该抛
1、点A代入,得：p=16,则：y²=32x；
2、(x1＋x2＋x3)/3=8=(x1＋x2＋2)/3,得：x1＋x2=22,M横坐标是(x1＋x2)/2=11.同理纵坐标是－4,M(11,－4)；
3、(y1)²=32(x1),(y2)²=32(x2),相减,k=(y1－y2)/(x1－x2)

（I）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，有82=2p•2解得p=16
所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得AFFM=2；
设点M的坐标为（x0，y0），则2+2x01+2=8，
8+2y01+2=0解得x0=11，y0=-4所以点M...

全部展开

（I）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，有82=2p•2解得p=16
所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得AFFM=2；
设点M的坐标为（x0，y0），则2+2x01+2=8，
8+2y01+2=0解得x0=11，y0=-4所以点M的坐标为（11，-4）
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．
设BC所成直线的方程为y+4=k（x-11）（k≠0）
由y+4=k(x-11)y2=32x​消x得ky2-32y-32（11k+4）=0
所以y1+y2=
32k由（II）的结论得y1+y22=-4解得k=-4
因此BC所在直线的方程为y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．

收起

(3) y1^2=32x1 y2^2=32x2
两式相减得(y1-y2) /(x1-x2)=32 /(y1+y2)
设直线BC的斜率为k，则k=32/(y1+y2)= -4
∴BC所在直线的方程为：y+4= -4(x-11),即4x+y-40=0