在△ABC中,已知A=60º,且最大边长和最小边长恰好是方程x²-7x+11=0的两根,则第三边的长为（）

在△ABC中,已知A=60º,且最大边长和最小边长恰好是方程x²-7x+11=0的两根,则第三边的长为（）
在△ABC中,已知A=60º,且最大边长和最小边长恰好是方程x²-7x+11=0的两根,则第三边的长为（）

在△ABC中,已知A=60º,且最大边长和最小边长恰好是方程x²-7x+11=0的两根,则第三边的长为（）
A=60º既不是最大角,也不是最小角.
则b和c为最大边和最小边.
由韦达定理得：b+c=7、bc=11.
b^2+c^2=(b+c)^2-2bc=49-22=27.
由余弦定理得：a^2=b^2+c^2-2bccosA=27-2*11*(1/2)=16.
所以,a=4.

A不是最大边所对的角，否则，其余两角之和<120度，这是不可能的；
A也不是最小边所对的角，否则，其余两内角之和>120度,这也是不可能的。
因此，A即所求的第三边（设为a)所对的角，那么设最大边长b、最小边长c
所以b+c=7 bc=11 b²+c²=49-22=27
根据余弦定理得
a²=b²+c²...

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A不是最大边所对的角，否则，其余两角之和<120度，这是不可能的；
A也不是最小边所对的角，否则，其余两内角之和>120度,这也是不可能的。
因此，A即所求的第三边（设为a)所对的角，那么设最大边长b、最小边长c
所以b+c=7 bc=11 b²+c²=49-22=27
根据余弦定理得
a²=b²+c²-2bc×cos60°
=27-2×11×1/2
=27-11
=16
所以a=4
即第三边的长为4.

收起

4
由题意知第三边是A=60º所对应的边，设其长的x3；
设△ABC的最大边，最小边，分别为x1,x2,由根与系数关系得
x1+x2=7
x1×x2=11
由余弦定理得
x3^2=x1^2+x2^2-2cos(A)x1x2
=(x1+x2)^2-3x1x2
=16
所以 x3=4