矩形ABCD中,AB=根号2,BC=2,Q为AD中点,将△ABQ,△CDQ沿BQ,CQ折起,使得AQ,DQ重合,记A,D重合的点为P．(1)求二面角B－PQ－C的大小(2)证明PQ⊥BC(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小

矩形ABCD中,AB=根号2,BC=2,Q为AD中点,将△ABQ,△CDQ沿BQ,CQ折起,使得AQ,DQ重合,记A,D重合的点为P．(1)求二面角B－PQ－C的大小(2)证明PQ⊥BC(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小
矩形ABCD中,AB=根号2,BC=2,Q为AD中点,将△ABQ,△CDQ沿BQ,CQ折起,使得AQ,DQ重合,记A,D重合的点为P．
(1)求二面角B－PQ－C的大小
(2)证明PQ⊥BC
(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小

矩形ABCD中,AB=根号2,BC=2,Q为AD中点,将△ABQ,△CDQ沿BQ,CQ折起,使得AQ,DQ重合,记A,D重合的点为P．(1)求二面角B－PQ－C的大小(2)证明PQ⊥BC(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小
解前分析：
① 求二面角B－PQ－C的大小,结合本题较好的方法是：
过平面BPQ 和 平面CPQ 的交线PQ上的一点 向两个面内分别作交线PQ垂线,
这两条垂线的夹角 即为二面角B－PQ－C的平面角.
② 证明PQ⊥BC,结合本题较好的方法是：
证明 BC 与 PQ所在的面 垂直.
③ 求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小,结合本题较好的方法是：
求出 PQ 与 它在平面BCQ内的射影 所成的角即可.
① ∵ 四边形ABCD是矩形
∴ 折后 PB ⊥ PQ, 且 PC ⊥ PQ.
∵平面BPQ ∩ 平面CPQ = PQ, P在PQ上, PB ⊥ PQ、 PC ⊥ PQ,
就是说,过平面BPQ 和 平面CPQ 的交线PQ上的一点P,
在两个面内分别作交线PQ的垂线PB 和 PC,
∴ ∠BPC 即为二面角B－PQ－C的平面角.
下面求∠BPC.
在△BPC中, PB = PC = √2, BC = 2,
∵ PB的平方 + PC的平方 = BC的平方
∴ ∠BPC = 90° 即：二面角B－PQ－C的大小为90°
本问 您也可以由 余弦定理来求：
cos∠BPC = ( PB的平方 + PC的平方 -- BC的平方 ) / (2×PB×PC)
= (2+2--4)/(2×√2×√2)
= 0 ∴ ∠BPC = 90° 即：二面角B－PQ－C的大小为90°
② 取BC的中点E,连 PE,连QE.
∵ BQ = CQ,BE = CE,
∴ BC ⊥ QE. ------------------------------------ （1）
∵ BP = CP,BE = CE,
∴ BC ⊥ PE.------------------------------------- （2）
由 （1）（2）知：BC 与 平面PQE内的两条相交线PE 和 QE 均垂直,
∴ BC ⊥ 平面PQE.而PQ在 平面PQE内,
∴ BC ⊥ PQ.
即：PQ⊥BC.
③ ∵ BC ⊥ 平面PQE, 平面BCQ经过平面PQE的一条垂线BC,
∴平面BCQ ⊥ 平面PQE,且两面 的交线为QE.
∴ PQ 在 平面BCQ内的射影 落在QE上.
∴ ∠PQE 即为 直线PQ与平面BCQ所成的角.

在等腰直角三角形 BPC 中,PE = 1,
在等腰三角形 BCQ 中,BQ = √3,BE = 1,则 QE = √2.
又 ∵ PQ = 1,
∴ 在 △PQE 中, PQ = 1,PE = 1,QE = √2,
∴ 由 PQ的平方 + PE的平方 = QE的平方 得：
△PQE是等腰直角三角形.
∴ ∠PQE = 45°
∴ 直线PQ与平面BCQ所成的角的大小为45°
本问也可以由 PQ ⊥ 平面BCQ 得出 PQ ⊥ PE,进而在Rt△PQE中 由 PQ = 1,PE = 1,得出
tan∠PQE = PE / PQ = 1, ∴∠PQE = 45°.
祝您学习顺利!