一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖,如果使用较小的相同正方形地砖 ,那么需n+76块这样的地砖才能覆盖这块地,已知n及地砖的边长都是整数,求n.

一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖,如果使用较小的相同正方形地砖 ,那么需n+76块这样的地砖才能覆盖这块地,已知n及地砖的边长都是整数,求n.
一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖,如果使用较小的相同正方形地砖 ,那么需n+76块这样的地砖才能覆盖这块地,已知n及地砖的边长都是整数,求n.

一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖,如果使用较小的相同正方形地砖 ,那么需n+76块这样的地砖才能覆盖这块地,已知n及地砖的边长都是整数,求n.
方法一：
76=37+39
1^2+3=2^2
2^2+5=3^2
3^2+7=4^2
……
n^2+(2n+1)=(n+1)^2
所以
18^2+37+39=20^2
因此n为18*18=324
方法二：设方形地砖大的边长为A,小的边长为B,则有nA^2=(n+76)B^2
转化n/(n+76)=A^2/B^2
都是整数,所以设n=KA^2 n+76=KB^2
两个式子相减 76=KA^2-KB^2=K(A-B)(A+B)=4*19=2*2*19=2*38
由于A-B与A+B有相同奇偶性,所以另A-B=2 A+B=38
解得A=20 B=18
代入n/(n+76)=A^2/B^2
得n=81*4=324