平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A为(3,4),C为(7,0),直线y=kx-1与y轴交点为D（1）写出B的坐标（2）是否存在k,使直线y=kx-1把平行四边形OABC的面积平分（3）当直线y=kx-1经过点B时,求证：直线B
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 22:00:58
平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A为(3,4),C为(7,0),直线y=kx-1与y轴交点为D（1）写出B的坐标（2）是否存在k,使直线y=kx-1把平行四边形OABC的面积平分（3）当直线y=kx-1经过点B时,求证：直线B
平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A为(3,4),C为(7,0),直线y=kx-1与y轴交点为D
（1）写出B的坐标
（2）是否存在k,使直线y=kx-1把平行四边形OABC的面积平分
（3）当直线y=kx-1经过点B时,求证：直线BD是否平分∠ABC
平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A为(3,4),C为(7,0),直线y=kx-1与y轴交点为D（1）写出B的坐标（2）是否存在k,使直线y=kx-1把平行四边形OABC的面积平分（3）当直线y=kx-1经过点B时,求证：直线B
（1）∵四边形OABC是平行四边形,A（3,0）,
∴BC=OA=3,BC∥OA．
∵B（0,2）,
∴C（-3,2）．
把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c,
得
9a+3b+c＝0
c＝2
9a−3b+c＝2
,解得
a＝−
1
9
b＝−
1
3
c＝2
,
∴抛物线的解析式为y=-
1
9
x2-
1
3
x+2；
菁优网（2）∵y=-
1
9
x2-
1
3
x+2,
∴当y=0时,-
1
9
x2-
1
3
x+2=0,
解得x1=3,x2=-6,
∴D点坐标为（-6,0）．
∵S△OCD=
1
2
×6×2=6,S四边形OBCD=S△OBC+S△OCD=
1
2
×3×2+6=3+6=9,
∴当直线OP将四边形OBCD的面积分成1：2两部分时,设直线OP与直线CD交于点E,则△ODE的面积可以为3或6．
①当S△ODE=
1
3
×9=3时,
∵S△ODP=
1
2
S△OCD,
∴E为CD的中点,
∵C（-3,2）,D（-6,0）,
∴E点坐标为（-4.5,1）．
设直线OE的解析式为y=kx,则-4.5x=1,
解得k=-
2
9
,
∴y=-
2
9
x．
设点P的坐标为（x,-
1
9
x2-
1
3
x+2）,
则-
1
9
x2-
1
3
x+2=-
2
9
x,
解得：x1=
−1−
73
2
,x2=
−1+
73
2
（舍去）,
∴P1（
−1−
73
2
,
1+
73
9
）；
②当S△ODE=
2
3
×9=6时,P与C重合．
∴P2点坐标为（-3,2）．
综上所述,满足条件的点P的坐标为P1（
−1−
73
2
,
1+
73
9
）,P2（-3,2）；
菁优网（3）如图,连结BD交抛物线的对称轴于点Q,则QD+QC=QD+QB=BD最小,BD=
OB2+OD2
=
22+62
=2
10
．
设直线BD的解析式为y=mx+n,
∵B（0,2）,D（-6,0）,
∴
b＝2
−6k+b＝0
,解得
k＝
1
3
b＝2
,
∴y=
1
3
x+2．
∵抛物线y=-
1
9
x2-
1
3
x+2的对称轴为x=-
3
2
,
∴当x=-
3
2
时,y=
1
3
×（-
3
2
）+2=
3
2
,
∴点Q的坐标为（-
3
2
,
3
2
）时QD+QC最小,此时最小值为2
10
．