已知函数f(x)=x²+bx+c,g(x)=2x+b,对任意的x∈R,恒有g(x)≤f(x)1,证明c≥1 2,若b＞90,不等式m(c²-b²)≥f(c)-f(b)恨成立,求m取值范围

已知函数f(x)=x²+bx+c,g(x)=2x+b,对任意的x∈R,恒有g(x)≤f(x)1,证明c≥1 2,若b＞90,不等式m(c²-b²)≥f(c)-f(b)恨成立,求m取值范围
已知函数f(x)=x²+bx+c,g(x)=2x+b,对任意的x∈R,恒有g(x)≤f(x)
1,证明c≥1 2,若b＞90,不等式m(c²-b²)≥f(c)-f(b)恨成立,求m取值范围

已知函数f(x)=x²+bx+c,g(x)=2x+b,对任意的x∈R,恒有g(x)≤f(x)1,证明c≥1 2,若b＞90,不等式m(c²-b²)≥f(c)-f(b)恨成立,求m取值范围

g(x)≤f(x)恒成立,即f(x)-g(x)=x^2+(b-2)x+c-b≥0恒成立
对于这个二次函数,只要判别式△≤0即可
即(b-2)^2-4(c-b)≤0   解得 c≥1+b^2/4
由于b^2≥0 从而c≥1

f(c)-f(b)=c^2+bc-2b^2
由1中c≥1+b^2/4及b>90知   c/b≥1/b+b/4>1
而且关于b的函数h(b)=1/b+b/4在b>90时是增函数,故h(b)>1/90+90/4=1013/45
从而c/b>1013/45   令t=c/b>1013/45 
在不等式m(c²-b²)≥f(c)-f(b)两边同乘以1/b^2 ,化简得：
m(t^2-1)≥t^2+t-2 即m(t+1)(t-1)≥(t-1)(t+2) 
也即m(t+1)≥(t+2)    故m≥(t+2)/(t+1)=1+1/(t+1)   此式恒成立
只需m大于等于右式的上界,即t=1013/45 时的值
因此,m≥1103/1058