如图甲,在直角梯形ABCD中,角ABC=角DAB=90°,角CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图乙所示（点D记为P）,点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB,（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 02:15:39
如图甲,在直角梯形ABCD中,角ABC=角DAB=90°,角CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图乙所示（点D记为P）,点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB,（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小
如图甲,在直角梯形ABCD中,角ABC=角DAB=90°,角CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图乙所示（点D记为P）,点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB,
（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小;
（2）求二面角P-AC-B的大小的余弦值.
如图甲,在直角梯形ABCD中,角ABC=角DAB=90°,角CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图乙所示（点D记为P）,点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB,（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小
∵∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,
∴AB=BC/tan30°＝根号3 AC＝BC/sin30°=2 ∠DAC=60°
．∵AD=CD,
∴△DAC为等边三角形．
∴AD=CD=AC=2．
在图5中,
∵点E为点P在平面ABC上的正投影,
∴PE⊥平面ABC．
∵BC⊂平面ABC,
∴PE⊥BC．
∵∠CBA=90°,
∴BC⊥AB．
∵PE∩AB=E,PE⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴BC⊥平面PAB．
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．在Rt△CBP中,BC=1,PC=DC=2,
∴sin∠CPB＝BC/PC=0.5
∵0°＜∠CPB＜90°,
∴∠CPB=30°．
∴直线PC与平面PAB所成的角为30°．（6分）
取AC的中点F,连接PF,EF．
∵PA=PC,
∴PF⊥AC．
∵PE⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴PE⊥AC．
∵PF∩PE=P,PF⊂平面PEF,PE⊂平面PEF,
∴AC⊥平面PEF．
∵EF⊂平面PEF,
∴EF⊥AC．
∴∠PFE为二面角P-AC-B的平面角
在Rt△EFA中,AF＝0.5AC＝1,∠FAE＝30°
∴EF=AF•tan30°=3倍根号3 AE＝EF²+AF²开根号=3分之2倍根号3
在Rt△PFA中,PF=PA²−AF²开根号=根号3
在Rt△PEF中,cos∠PFE=EF/PF=三分之一
∴二面角P-AC-B的大小的余弦值为三分之一
