数列好难!已知数列{an}的前n项和Sn=(n²+n)×3^n（1）求 n→∞时 an/Sn（2）证明：a1/1²+a2/2²+an/n²＞3^na1、a2、an 中的1、2、n都是下标不是指数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:18:47
数列好难!已知数列{an}的前n项和Sn=(n²+n)×3^n（1）求 n→∞时 an/Sn（2）证明：a1/1²+a2/2²+an/n²＞3^na1、a2、an 中的1、2、n都是下标不是指数
数列好难!
已知数列{an}的前n项和Sn=(n²+n)×3^n
（1）求 n→∞时 an/Sn
（2）证明：a1/1²+a2/2²+an/n²＞3^n
a1、a2、an 中的1、2、n都是下标不是指数
数列好难!已知数列{an}的前n项和Sn=(n²+n)×3^n（1）求 n→∞时 an/Sn（2）证明：a1/1²+a2/2²+an/n²＞3^na1、a2、an 中的1、2、n都是下标不是指数
n>1时,
an=Sn-S(n-1)
=(n²+n)×3^n-[(n-1)²+n-1]×3^(n-1)
=(2n²+4n)×3^(n-1)
n=1时,
a1=S1=(1+1)×3=6,
(2+4)/1=6=a1,
因此,对于任意的自然数n,有:
an=(2n²+4n)×3^(n-1)..
an/Sn=(2n²+4n)×3^(n-1)/(n²+n)×3^n
=(2n²+4n)/(3n²+3n),
n→∞时 an/Sn→2/3..
an/n²=(2+4/n)×3^(n-1)>2×3^(n-1),
因此当n>1时,
a1/1²+a2/2²+…+an/n²
=6+a2/2²+…+an/n²
>6+2×[3^(2-1)+3^(3-1)+…+3^(n-1)]
=6+2×[3^1+3^2+…+3^(n-1)]
=6+2×(3^n-3)/2
=6+3^n-3
>3^n,
当n=1时,
a1/1²=6>3^1,
因此对于任意的自然数n,有:
a1/1²+a2/2²+…+an/n²>3^n
a(1)=S(1)=(1+1)3=6,
n>1时，
a(n)=S(n)-S(n-1)=[n^2+n]3^n-[(n-1)^2+n-1]3^(n-1)=3^(n-1)[3n^2+3n-(n-1)^2-n+1]=3^(n-1)[2n^2+4n],
a(n)/S(n)=[2n^2+4n]/[3n^2+3n]->2/3,n→∞
a(n)/n^2=3^(n-1)[2+4/n]...
全部展开
a(1)=S(1)=(1+1)3=6,
n>1时，
a(n)=S(n)-S(n-1)=[n^2+n]3^n-[(n-1)^2+n-1]3^(n-1)=3^(n-1)[3n^2+3n-(n-1)^2-n+1]=3^(n-1)[2n^2+4n],
a(n)/S(n)=[2n^2+4n]/[3n^2+3n]->2/3,n→∞
a(n)/n^2=3^(n-1)[2+4/n],n=1,2,...
a(1)/1^2+a(2)/2^2+...+a(n)/n^2=2[1+3+...+3^(n-1)]+4[1+3/2+...+3^(n-1)/n]>2[1+3+...+3^(n-1)]+4=2[3^n-1]/(3-1)+4=3^n-1+4=3^n+3>3^n
收起
S1=a1,s2-s1=a2思路，具体忘了，老师讲过很多这种题，不过毕业三年多了，实在只记得这一点