过点P(-1,1)作直线与椭圆x2\4+y2\2=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点,求AB所在直线方程
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 00:29:55
过点P(-1,1)作直线与椭圆x2\4+y2\2=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点,求AB所在直线方程过点P(-1,1)作直线与椭圆x2\4+y2\2=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点,求
过点P(-1,1)作直线与椭圆x2\4+y2\2=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点,求AB所在直线方程
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过点P(-1,1)作直线与椭圆x2\4+y2\2=1交于AB两点,若线段AB中点恰为P点,求AB所在直线方程
显然,AB不可能与y轴平行,否则A、B关于x轴对称,即AB的中点不可能是点P.
令AB的斜率为k,则AB的方程是:y-1=k(x+1),即:y=kx+k+1.
∴可设A、B的坐标分别是(m,km+k+1)、(n,kn+k+1).
联立:y=kx+k+1、x^2/4+y^2/2=1,消去y,得:x^2/4+(kx+k+1)^2/2=1,
∴x^2+2[k^2x^2+2k(k+1)x+(k+1)^2]-4=0,
∴(1+2k^2)x^2+4k(k+1)x+2(k+1)^2-4=0.
很明显,m、n是方程(1+2k^2)x^2+4k(k+1)x+2(k+1)^2-4=0的两根,
∴由韦达定理,有:m+n=-4k(k+1)/(1+2k^2),
∴(m+n)/2=-2k(k+1)/(1+2k^2).
∵P是AB的中点,∴(m+n)/2=-1,∴-2k(k+1)/(1+2k^2)=-1,
∴2k(k+1)=1+2k^2,∴2k^2+2k=1+2k^2,∴k=1/2.
∴AB的方程是:y=(1/2)x+1/2+1,即:x-2y+3=0.