正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CD延长线上一点,且角FEC=角FCE,EF交AD于P,求证S三角形AEP=4S三角形PDF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 23:34:01
正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CD延长线上一点,且角FEC=角FCE,EF交AD于P,求证S三角形AEP=4S三角形PDF
正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CD延长线上一点,且角FEC=角FCE,EF交AD于P,求证S三角形AEP=4S三角形PDF
正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CD延长线上一点,且角FEC=角FCE,EF交AD于P,求证S三角形AEP=4S三角形PDF
从AB的中点E,作EG垂直CD于G,则点G为CD的中点.
设AE=EB=m,则CG=DG=m,设DF=X,则EF=CF=2m+X;
EG^2+GF^2=EF^2,即(2m)^2+(m+X)^2=(2m+x)^2,2mx=m^2,x=(1/2)m;
故DF/AE=[(1/2)m]/m=1/2.
AB平行于DF,则⊿AEP∽⊿DFP,S⊿AEP/S⊿PDF=(DF/AE)^2=1/4,即:S⊿AEP=4S⊿PDF.
设正方形ABCD的边长=2，∴EA=EB=1，DF=x，则CF=2＋x，∴EF=2＋x，过E作CF的垂线，垂足为H点，则CH=1，EH=2，∴FH=1＋x，考察直角△FEH，由勾股定理得：EH²＋FH²=EF²，代入解得：x=½，又∵△FDP∽△EAP，FD∶EA=1∶2，∴△FDP的面积∶△EAP的面积=﹙1∶2﹚²=1∶4，∴△AEP面积=4△...
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设正方形ABCD的边长=2，∴EA=EB=1，DF=x，则CF=2＋x，∴EF=2＋x，过E作CF的垂线，垂足为H点，则CH=1，EH=2，∴FH=1＋x，考察直角△FEH，由勾股定理得：EH²＋FH²=EF²，代入解得：x=½，又∵△FDP∽△EAP，FD∶EA=1∶2，∴△FDP的面积∶△EAP的面积=﹙1∶2﹚²=1∶4，∴△AEP面积=4△PDF面积
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