函数y=2cos²x+sin2x,x∈(0,π/2)的值域是________（求过程）

函数y=2cos²x+sin2x,x∈(0,π/2)的值域是________（求过程）
函数y=2cos²x+sin2x,x∈(0,π/2)的值域是________（求过程）

函数y=2cos²x+sin2x,x∈(0,π/2)的值域是________（求过程）
y=2cos²x+sin2x
=2cos²x-1+sin2x+1
=sin2x+cos2x+1
=sin2x+sin(π/2-2x)+1
=2sinπ/4cos(2x-π/4)+1
=√2cos(2x-π/4)+1
因x∈(0,π/2),2x∈(0,π/2),2x-π/4∈(-π/4,3π/4),0

y=1+cos2x+sin2x=1+√2sin(2x+π/4)
2x+π/4=π/2,即x=π/8时，y取最大值1+√2
x=π/2时，y取最小值0.
因此值域为(0, 1+√2]

因为cos2x＝2cos∧2x－1
所以2cos∧2x＝cos2x＋1，带入原式得
y＝cos2x＋sin2x＋1
＝√2（√2/2cos2x＋√2/2sin2x）＋1
＝√2（sinπ/4cos2x＋cosπ/4sin2x）＋1
＝√2sin（2x＋π/4）＋1
∵x∈（0，π/2），
：2x＋π/4∈（π/4，5π/4）

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因为cos2x＝2cos∧2x－1
所以2cos∧2x＝cos2x＋1，带入原式得
y＝cos2x＋sin2x＋1
＝√2（√2/2cos2x＋√2/2sin2x）＋1
＝√2（sinπ/4cos2x＋cosπ/4sin2x）＋1
＝√2sin（2x＋π/4）＋1
∵x∈（0，π/2），
：2x＋π/4∈（π/4，5π/4）
所以y＝√2sin（2x＋π/4）最大值为√2＋1，
最小值为√2sin5π/4＋1＝0
因此值域为（0，√2＋1）

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