证明a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)能被(a-b)整除

证明a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)能被(a-b)整除
证明a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)能被(a-b)整除

证明a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)能被(a-b)整除
其实可以提问前搜索一下的.
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
=a^3b-a^3c+b^3c-b^3a+c^3a-c^3b
=ab(a^2-b^2)-c(a^3-b^3)+c^3(a-b)
=ab(a+b)(a-b)-c(a-b)(a^2+ab+b^2)+c^3(a-b)
=(a-b)(ab(a+b)-a^2c-abc-b^2c+c^3）
=（a-b)(a^2(b-c)+ab(b-c)-c(b^2-c^2))
=(a-b((b-c)(a^2+ab-bc-c^2)
=(a-b((b-c)(b(a-c)+(a-c)(a+c))
=(a-b((b-c)(a-c)(b+a+c)
其实你可以让a-b=0
a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
=a^3(a-c)+a^3(c-a)+0
=a^3(a-c)-a^3(a-c)
=0
所以含有因式a-b

a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)
=a³b-a³c+b³c-b³a+c³(a-b)
=a³b-b³a-(a³c-b³c)+c³(a-b)
=ab(a²-b²)-c(a³-b³)+c³...

全部展开

a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)
=a³b-a³c+b³c-b³a+c³(a-b)
=a³b-b³a-(a³c-b³c)+c³(a-b)
=ab(a²-b²)-c(a³-b³)+c³(a-b)
=ab(a+b)(a-b)-c(a-b)(a²+ab+b²)+c³(a-b)
=(a-b)(a²b-ab²-ca²-abc-cb²+c³)
所以，能被(a-b)整除

收起

展开前两项，有a³b-a³c+b³c-b³a+c³(a-b)=(a³b-b³a)-(a³c-b³c)+c³(a-b)=ab(a-b)(a+b)-c(a-b)(a²+ab+b²)+c³(a-b)到了这一步就不需要我多说了吧