2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题的最后一题从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数．（1）求证：当n＝1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017；（2）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 20:24:31
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题的最后一题从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数．（1）求证：当n＝1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017；（2）
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题的最后一题
从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数．
（1）求证：当n＝1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017；
（2）当n≤1006（n是正整数）时,上述结论成立否?请说明理由．
很难么？怎么没人答啊
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题的最后一题从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数．（1）求证：当n＝1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017；（2）
（1）设,…,是1,2,3,…,2008中任意取出的1007个数．
首先,将1,2,3,…,2008分成1004对,每对数的和为2009,
每对数记作(m,2009-m) ,其中m=1,2,3,…,1004．
因为2008个数取出1007个数后还余1001个数,所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对,
因此至少有3对数,不妨记为
(互不相等)均为,…,中的6个数．
其次,将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对,每对数的和为2008,每对数记作(k ,2008-k) ,其中k=1,2,…,1003．
2006个数中至少有1005个数被取出,因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数,这1003对数中,至少有2对数是,…,中的4个数,不妨记其中的一对为．
又在三对数 ,(互不相等)中至少存在1对数中的两个数与中的两个数互不相同,不妨设该对数为,
于是．
（2）不成立．
当时,不妨从1,2,…,2008中取出后面的1006个数：
1003 ,1004,…,2008,
则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；
当时,同样从1,2,…,2008中取出后面的n个数,其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．
所以时都不成立．