2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题的最后一题从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数.(1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017;(2)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/15 10:11:15
2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题的最后一题从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数.(1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017;(2)
2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题的最后一题
从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数.
(1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017;
(2)当n≤1006(n是正整数)时,上述结论成立否?请说明理由.
很难么?怎么没人答啊
2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题的最后一题从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数.(1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017;(2)
(1)设,…,是1,2,3,…,2008中任意取出的1007个数.
首先,将1,2,3,…,2008分成1004对,每对数的和为2009,
每对数记作(m,2009-m) ,其中m=1,2,3,…,1004.
因为2008个数取出1007个数后还余1001个数,所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对,
因此至少有3对数,不妨记为
(互不相等)均为,…,中的6个数.
其次,将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对,每对数的和为2008,每对数记作(k ,2008-k) ,其中k=1,2,…,1003.
2006个数中至少有1005个数被取出,因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数,这1003对数中,至少有2对数是,…,中的4个数,不妨记其中的一对为.
又在三对数 ,(互不相等)中至少存在1对数中的两个数与中的两个数互不相同,不妨设该对数为,
于是.
(2)不成立.
当时,不妨从1,2,…,2008中取出后面的1006个数:
1003 ,1004,…,2008,
则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017;
当时,同样从1,2,…,2008中取出后面的n个数,其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017.
所以时都不成立.