已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）。(2)过点P(0,4)的直线 L与椭圆C相交于MN两点 当线段MN的中点落在正方形Q内(

已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）。(2)过点P(0,4)的直线 L与椭圆C相交于MN两点 当线段MN的中点落在正方形Q内(
已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形
（记为Q）。(2)过点P(0,4)的直线 L与椭圆C相交于MN两点 当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时 求直线L的斜率的取值范围

已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）。(2)过点P(0,4)的直线 L与椭圆C相交于MN两点 当线段MN的中点落在正方形Q内(

由题可设椭圆方程式为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)、a^2-c^2=b^2
图中正方形面积为8可知：
b^2+c^2=8,b=c=2
又a^2-c^2=b^2

得：a=2√2
即椭圆方程为：x^2 / 8 + y^2/4 = 1
设直线方程为 y = kx + 4,x=(y-4)/k
代入椭圆方程x^2 +2y^2 =8
有x^2 +2(kx+4) ^2=8,[(y-4)/k]^2+2y^2=8
(2k^2+1)x^2+16kx+24=0,(2k^2+1)y^2-8y+16-8k^2=0
由二次函数两根之和为-b/a可得：
x1+x2=-16k/(2k^2+1),y1+y2=8/(2k^2+1)
即：(x1+x2)/2=-8k/(2k^2+1),(y1+y2)/2=4/(2k^2+1)
中点坐标为：[-8k/(2k^2+1),4/(2k^2+1)]
由图可知：直线L与椭圆c相交且满足相交玄中点落在正方形内有两种情况
①当中点落在y=-x+2,即落在第一象限内正方形的边上
②当中点落在y=x+2,即落在第二象限内正方形的边上
将中点坐标代入①、②可得：
①、4/(2k^2+1)=8k/(2k^2+1)+2
4=8k+4k^2+2
k^2+2k-1/2=0
解出：k1=-1-√(3/2),k2=-1+√(3/2)
由于中点落在第一象限时,直线L斜率为负值,所以取k=-1-√(3/2)
②、4/(2k^2+1)=-8k/(2k^2+1)+2

4=-8k+4k^2+2
k^2-2k-1/2=0
解出：k1=1-√(3/2),k2=1+√(3/2)
由于中点落在第二象限时,直线L斜率为正值,所以取k=1+√(3/2)
综上：

①当MN中点落在第一象限内,k取值范围为(-∞,-1-√(3/2)]
②当MN中点落在第二象限内,k取值范围为[1+√(3/2),+∞)
特殊情况：当中点为原点时,直线L即为y轴,直线方程为：x=0,斜率不存在.

根据已知条件c = 2, b = 2, a = 2根号（2）

椭圆方程x^2 / 8 + y^2/4 = 1

设绿线方程为 y = kx + 4

代入椭圆方程

（1/8 + k^2/4 ) x^2 + 2kx + 3 = 0

两个交点横坐标为 x1,x2,

x1+x2 = - 16k/(2k^2+1)

(x1+x2)/2 = -8k/(2k^2+1)

(y1+y2)/2 = k(x1+x2)/2 + 4 = -8k^2/(2k^2+1) + 4

当k > 0 时，若中点在第二象限, 有 y1+y2-x1-x2 <=2

-8k^2/(2k^2+1)+4 +8k/(2k^2+1) <= 1

k > 2 + 3/根号（2）

收起