已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为F1,F2.P为双曲线上左支上的一点,若|PF2|^2 / |PF1|=8a,则双曲线离心率取值范围是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 09:06:22
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为F1,F2.P为双曲线上左支上的一点,若|PF2|^2 / |PF1|=8a,则双曲线离心率取值范围是多少?
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为F1,F2.P为双曲线上左支上的一点,
若|PF2|^2 / |PF1|=8a,则双曲线离心率取值范围是多少?
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为F1,F2.P为双曲线上左支上的一点,若|PF2|^2 / |PF1|=8a,则双曲线离心率取值范围是多少?
|PF2|^2 / |PF1|=8a,
根据双曲线定义,
||PF2|- |PF1||=2a,
∵P在左支,|PF2|>|PF1|,
∴|PF1|=|PF2|-2a
设|PF2|=m,|PF1|=n,
n=m-2a,
m^2/(m-2a)=8a,
m^2-8am+16a^2=0,
(m-4a)^2=0,
∴m=4a,
n=4a-2a=2a,
在△PF1F2中,两边之和大于第三边),
∴m+n>=|F1F2|,(若P在左顶点上则相等),
|F1F2|=2c,
4a+2a>=2c,
6a>=2c,
∴c/a<=3,
离心率e=c/a,
∴1
PF1+PF2=2a
即y=PF1+PF12/8a≥2a,设双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点B(a,0)
易得:PF1=AF1=c-a时,y有最小值
∵对y,y取最小值时为PF1=-4a
∴PF1=AF1=c-a时存在;PF1+PF12/8a>2a
即:c-a+(c-a)2/8a>2a
解出来就好了请不要给我这种答案，这个答案我已经在网上看过了...
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PF1+PF2=2a
即y=PF1+PF12/8a≥2a,设双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点B(a,0)
易得:PF1=AF1=c-a时,y有最小值
∵对y,y取最小值时为PF1=-4a
∴PF1=AF1=c-a时存在;PF1+PF12/8a>2a
即:c-a+(c-a)2/8a>2a
解出来就好了
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