已知f为焦点的抛物线y²=4x上的A.B满足向量af=3向量fb.则ab中点到准线距离为?

已知f为焦点的抛物线y²=4x上的A.B满足向量af=3向量fb.则ab中点到准线距离为?
已知f为焦点的抛物线y²=4x上的A.B满足向量af=3向量fb.则ab中点到准线距离为?

已知f为焦点的抛物线y²=4x上的A.B满足向量af=3向量fb.则ab中点到准线距离为?
设抛物线的准线为l:x=-1.设|FB|=m,则|FA|=3m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,
由抛物线定义知：|AC|=|FA|=3m,|BD|=|FB|=m,
过B作BE⊥AC,E为垂足.
|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=3m-m=2m.
|AB|=|FA|+|FB|=4m.
在Rt△AEB中,|BE|=√(|AB|²-|AE|²)=2√3m,
tan∠BAE=|BE|/|AE|=√3,
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.
焦点F坐标为(1,0),直线方程为y=√3(x-1).与抛物线方程y²=4x联立并消去y得：
3x²-10x+3=0,x=3或1/3.
所以弦AB的中点的横坐标为（3+1/3）/2=5/3.
准线为l:x=-1.
所以弦AB的中点到准线的距离为5/3+1=8/3.