在椭圆7x^2+4y^2=28求一点p.使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最小

在椭圆7x^2+4y^2=28求一点p.使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最小
在椭圆7x^2+4y^2=28求一点p.使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最小

在椭圆7x^2+4y^2=28求一点p.使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最小
用参数方程x=2sinθ
y=根号7cosθ
用点到直线的距离公式来算

设于3x-2y-16=0平行的直线为3x-2y+k=0
则只要我们找到椭圆和直线只有一个交点的k值就可以了。
y=(3x+k)/2 代入椭圆，7x^2+(3x+k)^2=28
==>16x^2+6kx+k^2-28=0
判别式=36k^2-64(k^2-28)=0
==>28k^2=64*28
==>k^2=64
==>k=...

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设于3x-2y-16=0平行的直线为3x-2y+k=0
则只要我们找到椭圆和直线只有一个交点的k值就可以了。
y=(3x+k)/2 代入椭圆，7x^2+(3x+k)^2=28
==>16x^2+6kx+k^2-28=0
判别式=36k^2-64(k^2-28)=0
==>28k^2=64*28
==>k^2=64
==>k=8或-8
因为求点P到直线3x-2y-16=0有最小距离
所以k=-8
求出3x-2y-8=0和3x-2y-16=0的距离即可
最小值 =|16-8|/√13

收起

椭圆的先化成标准式
又因为sin^2(θ)+cos^2(θ)=1
所以x=2sinθ， y=7cosθ
再代入点到直线距离公式 ，根据θ的取值范围确定最小值