1^2+2^2+3^2+4^2+······+n^2=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:20:42
1^2+2^2+3^2+4^2+······+n^2=?
1^2+2^2+3^2+4^2+······+n^2=?
1^2+2^2+3^2+4^2+······+n^2=?
2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2+2*2+1 … (n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1 一共n个式子加起来,2^3,3^3…,n^3左右都有,约去,剩下 (n+1)^3=3*(1^2+2^2…+n^2)+3*(1+2+…+n)+n 1+2+…+n=n*(n+1)/2
由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以 2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1 3 ^3 = 2 ^3 + 3* 2 ^2 + 3* 2 + 1 4 ^3 = 3 ^3 + 3* 3 ^2 + 3* 3 + 1 5 ^3 = 4 ^3 + 3* 4 ^2 + 3* 4 + 1 …… n ^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(...
全部展开
由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以 2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1 3 ^3 = 2 ^3 + 3* 2 ^2 + 3* 2 + 1 4 ^3 = 3 ^3 + 3* 3 ^2 + 3* 3 + 1 5 ^3 = 4 ^3 + 3* 4 ^2 + 3* 4 + 1 …… n ^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1 (n+1)^3 = n ^3 + 3* n ^2 + 3* n + 1 上面所有式子相加，并在两边同时减去相同的项： (n+1)^3 = 1^3 + 3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n 不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为S。 则n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n/2+n 化简得：S=n(n+1)*(2n+1)/6
收起