设a是大于0的正常数,函数f(X)=(1/sinx^2)+(a/cosx^2)的最小值是9,则a的值等于

设a是大于0的正常数,函数f(X)=(1/sinx^2)+(a/cosx^2)的最小值是9,则a的值等于
设a是大于0的正常数,函数f(X)=(1/sinx^2)+(a/cosx^2)的最小值是9,则a的值等于

设a是大于0的正常数,函数f(X)=(1/sinx^2)+(a/cosx^2)的最小值是9,则a的值等于
记y=cosx^2,0

令u=sin(x)^2 则变为
g(u)=1/u + a/(1-u) 0<=u<=1
其最小值用如下方法求:
0=g'(u)= -1/u^2 +a/(1-u)^2,
解得 1/u=sqrt(a)/(1-u), sqrt(a) u = 1-u, u=1/(1+sqrt(a)), 1-u=sqrt(a)/(1+sqrt(a))
代入得
g(u)=1+...

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令u=sin(x)^2 则变为
g(u)=1/u + a/(1-u) 0<=u<=1
其最小值用如下方法求:
0=g'(u)= -1/u^2 +a/(1-u)^2,
解得 1/u=sqrt(a)/(1-u), sqrt(a) u = 1-u, u=1/(1+sqrt(a)), 1-u=sqrt(a)/(1+sqrt(a))
代入得
g(u)=1+sqrt(a) + a*(1+sqrt(a))/sqrt(a) = 1+sqrt(a)+sqrt(a)+a
=(1+sqrt(a))^2
这是g(u)的最小值, 故由题意知 (1+sqrt(a))^2=9
所以a=4.

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