设函数f（x）=根号(-ax^2+bx+c)（a>0）的定义域为D,若所有点（s,f(t)）(s,t属于D)构成一个正方形区域,则a的值为多少?一个地方打错了应该是：根号(-2ax^2+bx+c)（a>0）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 10:29:44
设函数f（x）=根号(-ax^2+bx+c)（a>0）的定义域为D,若所有点（s,f(t)）(s,t属于D)构成一个正方形区域,则a的值为多少?一个地方打错了应该是：根号(-2ax^2+bx+c)（a>0）
设函数f（x）=根号(-ax^2+bx+c)（a>0）的定义域为D,若所有点（s,f(t)）(s,t属于D)构成一个正方形区域,则a的值为多少?
一个地方打错了应该是：根号(-2ax^2+bx+c)（a>0）
设函数f（x）=根号(-ax^2+bx+c)（a>0）的定义域为D,若所有点（s,f(t)）(s,t属于D)构成一个正方形区域,则a的值为多少?一个地方打错了应该是：根号(-2ax^2+bx+c)（a>0）
【【分析】】
【1】函数f(x)=√(-2ax²+bx+c)
该函数的定义域D,就是不等式-2ax²+bx+c≥0的解集.
即不等式2ax²-bx-c≤0的解集是D.
由题设可知,集合D是不空集.应该是一个闭区间[x1,x2],即D=[x1,x2]
其中,x1 x2是方程2ax²-bx-c=0的两个不等的实数根.
∴由韦达定理可得
x2-x1=√[(x2+x1)²-4x2x1]
=[√(b²+8ac)]/(2a).
其中,差(x2-x1)也叫做区间[x1,x2]的长度.
∴定义域D的长度=[√(b²+8ac)]/(2a)
【2】
易知,在区间[x1,x2]上,恒有-2ax²+bx+c≥0.
∵a＞0
∴-2ax²+bx+c在区间[x1,x2]上有最大值和最小值.
数形结合可知
max=(b²+8ac)/(8a)
min=0.
∴函数f(x)=√(-2ax²+bx+c)的值域M为
M=[0,√ (max)].
∴区间M的长度为√[(b²+8ac)/(8a)]
【3】
由题设可知,应有:
两个区间D(定义域)和M(值域)的长度相等.
关于这一点,不是好懂的,可以慢慢理解.
∴[√(b²+8ac)]/(2a)=√[(b²+8ac)/(8a)]
两边平方,可得
(b²+8ac)/(4a²)=(b²+8ac)/(8a)
∴4a²=8a
结合a＞0可得a=2.
∴a=2.