如图,ΔABC,AB=4,BC=5,AC=3,PQ‖BC,P是AB边上的一点（P不与A、B重合）,Q是AC边上的一点（Q不与A、C重合）.（1）若ΔAPQ的面积等于四边形PBCQ的面积,求PA的长度.（2）若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长,

如图,ΔABC,AB=4,BC=5,AC=3,PQ‖BC,P是AB边上的一点（P不与A、B重合）,Q是AC边上的一点（Q不与A、C重合）.（1）若ΔAPQ的面积等于四边形PBCQ的面积,求PA的长度.（2）若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长,
如图,ΔABC,AB=4,BC=5,AC=3,PQ‖BC,P是AB边上的一点（P不与A、B重合）,Q是AC边上的一点（Q不与A、C重合）.
（1）若ΔAPQ的面积等于四边形PBCQ的面积,求PA的长度.
（2）若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长,求PA的长度.

如图,ΔABC,AB=4,BC=5,AC=3,PQ‖BC,P是AB边上的一点（P不与A、B重合）,Q是AC边上的一点（Q不与A、C重合）.（1）若ΔAPQ的面积等于四边形PBCQ的面积,求PA的长度.（2）若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长,
（1）设PA=X
由勾股定理逆定理得：3^2+4^2=5^2
所以ΔABC是直角三角形,所以SΔABC=1/2AB*AC=6
因为ΔAPQ的面积等于四边形PBCQ的面积,
ΔAPQ的面积+四边形PBCQ的面积=SΔABC
所以ΔAPQ的面积=1/2SΔABC=3,所以SΔAPQ：SΔABC=3：6=1：2
因为 PQ‖BC,所以∠APQ=∠B,∠AQP=∠C
所以ΔAPQ相似于ΔABC
所以（PA：AB）的平方=SΔAPQ：SΔABC
所以PA=2*根号2
（2）因为ΔAPQ相似于ΔABC
所以AP：AB=AQ：AC,即：AP：4=AQ：3
所以AQ=3/4*AP
因为ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长
所以AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ+BC
即：AP+AQ=BP+CQ+5
AP+3/4*AP=4-AP+3-AQ+5
7/4AP=4-AP+3-3/4AP+5
7/4AP=12-7/4AP
3.5AP=12
AP=24/7

1 即SΔAPQ=1/2SΔABC
PQ=1/2BC,PQ\\BC
所以AP=PB=1.5
2 设AP为X
X+3/4X=4-X+3-3/4X+5
X=24/7

1、设AP为x，
∵PQ平行BC
所以三角形APQ相似于三角形ABC
所以AQ等于0.75x
所以S三角形APQ为0.375x，四边形的面积为6-0.375x
∴0.375x方＝6-0.375x方
∴x＝2根号2
2、设AP为y
和上题一样AQ＝0.75x，PQ＝1.25x
AP＋PQ＋AQ＝0.75x+1.25x＋x＝3x<...

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1、设AP为x，
∵PQ平行BC
所以三角形APQ相似于三角形ABC
所以AQ等于0.75x
所以S三角形APQ为0.375x，四边形的面积为6-0.375x
∴0.375x方＝6-0.375x方
∴x＝2根号2
2、设AP为y
和上题一样AQ＝0.75x，PQ＝1.25x
AP＋PQ＋AQ＝0.75x+1.25x＋x＝3x
四边形的周长为4-x+3-0.75x+1.25x+5＝12-0.5x
∴12-0.5x＝3x
所以x＝七分之二十四

收起

∵PQ‖BC
∴∠APQ=∠B，且∠AQP=∠C
∴△APQ∽△ABC
（1）
若△APQ的面积等于四边形PBCQ的面积，则即为：△APQ的面积为△ABC的1/2
∵面积比为线段比的平方，∴这时，线段比为 （AP：AB）=1：2
∴AP：AB=√2：2
∴AP=2√2
（2）
若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长...

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∵PQ‖BC
∴∠APQ=∠B，且∠AQP=∠C
∴△APQ∽△ABC
（1）
若△APQ的面积等于四边形PBCQ的面积，则即为：△APQ的面积为△ABC的1/2
∵面积比为线段比的平方，∴这时，线段比为 （AP：AB）=1：2
∴AP：AB=√2：2
∴AP=2√2
（2）
若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长，
则AP+PQ+AQ=PB+BC+QC
=AB-AP+AQ-QC+BC+PQ
假设，线段比为AP：AB=k：1
整理得：14k=12
所以：k=6/7
∴AP=24/7

收起

（1）作AF垂直于PQ，PM垂直于BC，AE垂直于BC
ΔAPQ的面积等于二分之一AF乘以PQ,
四边形PBCQ的面积等于PQ乘以PM
所以PM=二分之一AF
因为PQ‖BC，所以ΔAPQ与ΔABC相似，又因为AF=2PM
所以AE=3PM,所以ΔAPQ与ΔABC的相似比为AF:AE=2PM:3PM=2:3
所以PA:AB=2:3
所以PA=...

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（1）作AF垂直于PQ，PM垂直于BC，AE垂直于BC
ΔAPQ的面积等于二分之一AF乘以PQ,
四边形PBCQ的面积等于PQ乘以PM
所以PM=二分之一AF
因为PQ‖BC，所以ΔAPQ与ΔABC相似，又因为AF=2PM
所以AE=3PM,所以ΔAPQ与ΔABC的相似比为AF:AE=2PM:3PM=2:3
所以PA:AB=2:3
所以PA=8/3
（2）

收起

3,4,5是勾股数，所以角A是90度
当ΔAPQ的面积等于四边形PBCQ的面积
即ΔAPQ的面积是ΔABC的一半，所以此时Q为AC中点，P为AB中点。
所以PA=2
若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长，求PA的长度，即有PA+AQ=PB+QC+BC
PA+AQ=PB+QC+5 整理得PA+AQ-PB-QC=5 1式
又因为PA+PB+A...

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3,4,5是勾股数，所以角A是90度
当ΔAPQ的面积等于四边形PBCQ的面积
即ΔAPQ的面积是ΔABC的一半，所以此时Q为AC中点，P为AB中点。
所以PA=2
若ΔAPQ的周长等于四边形PBCQ的周长，求PA的长度，即有PA+AQ=PB+QC+BC
PA+AQ=PB+QC+5 整理得PA+AQ-PB-QC=5 1式
又因为PA+PB+AQ+QC=7 2式
1式+2式 PA+AQ=6
又PA/AQ=4/3 所以PA+3PA/4=6
得PA=24/7

收起

(1)ΔAPQ=PBCQ,ΔABC=2ΔAPQ=6,所以PA=3(2)^0.5/2
(2)PA=3x,AQ=4x,PQ=5x
12x=5x+(3-3x)+(4-4x)+5
x=6/7
PA=18/7

∵PQ‖BC
∴∠APQ=∠B，且∠AQP=∠C
∴△APQ∽△ABC
（1）
若△APQ的面积等于四边形PBCQ的面积，则即为：△APQ的面积为△ABC的1/2
∵面积比为线段比的平方，∴这时，线段比为 （AP：AB）=1：2
∴AP：AB=√2：2
∴AP=2√2