例题：R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当< a,b> 和在R中有在R中.例题：设R1,R2为集合A中的两个等价关系,且R1 R2=R2 R1,试证R1 R2也是A上的等价关系.证明：1）自反性（略

例题：R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当< a,b> 和在R中有在R中.例题：设R1,R2为集合A中的两个等价关系,且R1 R2=R2 R1,试证R1 R2也是A上的等价关系.证明：1）自反性（略
例题：R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当
< a,b> 和在R中有在R中.
例题：设R1,R2为集合A中的两个等价关系,且R1 R2=R2 R1,试证R1 R2也是A上的等价关系.
证明：1）自反性（略）
2）对称性（略）
3）传递性：
如果 ,则
又 ,所以 ,所以
再由 及 是传递的,得 ,
再由 知 ,所以 ,所以 ,再由 及 是传递的,得 ,又 ,所以
例题：设R是集合A上的自反、传递的二元关系,又设T也是A上的二元关系,且满足：
.求证：T是A上的等价关系.

例题：R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当< a,b> 和在R中有在R中.例题：设R1,R2为集合A中的两个等价关系,且R1 R2=R2 R1,试证R1 R2也是A上的等价关系.证明：1）自反性（略
在下不自量力来做一下?离散数学都忘得差不多了
例题：R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当
< a, b> 和在R中有在R中.
证明：
1) 充分性：
假设R是对称和传递的.
R是对称的,且∈R => ∈R
R是传递的,且∈R,∈R => ∈R
2) 必要性
假设 和在R中时有在R中.
对任意∈R,由自反性得∈R
而∈R且∈R => ∈R （由条件的推理得来）
即对任意∈R,有∈R
所以,R具有对称性.
对任意∈R,∈R,由对称性得∈R
∈R且∈R => ∈R（有条件推理而来）
即对任意∈R,∈R,有∈R
所以,R具有传递性.
由1)2)得：R是对称和传递的,当且仅当< a, b> 和在R中有在R中.
二三题的题目有些莫名其妙的感觉,不证了,太晚了