如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.（1）求证AM⊥PD（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 03:28:33
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.（1）求证AM⊥PD（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.
（1）求证AM⊥PD（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.（1）求证AM⊥PD（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦
分析：（1）可通过证明PD⊥平面ABM由线面垂直的性质定理证明AM⊥PD；
（2）法一：求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值,可通过作出其平面角,解三角形求之．
法二：用向量法给出空间坐标系,及各点的坐标,求出直线的的方向向量的坐标以及平面的法向量的坐标,再由公式 sinα=|CD→•n⇀|CD→||n→||求出线面角的正弦值,进而求出余弦值．
菁优网（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,
∴AB⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD
∴AB⊥PD,
∵BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM,∴PD⊥平面ABM．
∵AM⊂平面ABM,∴AM⊥PD．
（2）解法1：由（1）知,AM⊥PD,又PA=AD,
则M是PD的中点,在Rt△PAD中,
得 AM=2,在Rt△CDM中,得 MC=MD2+DC2=3,
∴ S△ACM=12AM•MC=62．
设点D到平面ACM的距离为h,由VD-ACM=VM-ACD,
得 13S△ACM•h=13S△ACD•12PA．解得 h=63,
设直线CD与平面ACM所成的角为θ,则 sinθ=hCD=63,
∴ cosθ=33．
∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 33．
解法2：如图所示,以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则A（0,0,0）,P（0,0,2）,B（1,0,0）,C（1,2,0）,D（0,2,0）,M（0,1,1）．
∴ AC→=(1,2,0),AM→=(0,1,1),CD→=(-1,0,0)．
设平面ACM的一个法向量为 n⇀=(x,y,z),
由 n⇀⊥AC→,n⇀⊥AM→可得：{x+2y=0y+z=0.
令z=1,得x=2,y=-1．∴ n⇀=(2,-1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α,则 sinα=|CD→•n⇀|CD→||n→||=63．
∴ cosα= √3/3．∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 √3/3．