设a、b为非零向量,且|b|=2,（a,b）夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 17:21:11
设a、b为非零向量,且|b|=2,（a,b）夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）
设a、b为非零向量,且|b|=2,（a,b）夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）
设a、b为非零向量,且|b|=2,（a,b）夹角=60°,求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）
【解】应该说明x是个实数,
而xb是将向量b扩大或缩小x倍
如此用向量的平行四边形法则和余弦定理
|a+xb|²=|a|²+|xb|²-2|a||xb|cos120°
所以：|a+xb|=根号（|a|²+4x²+2|a|x)
另一方面：lim[x-0](|a+xb|-|a|)/x,显然在x趋于0时,分子和分母都是0,为0/0型不定式极限,由罗必塔法则,将分子与分母分别求导
既：lim[x-0](|a+xb|-|a|)/x=lim[x-0](|a+xb|-|a|)'/x'=lim[x-0](4x+|a|）/根号（|a|²+4x²+2|a|x)=1
【OK】
∵
la+xb| = √(|a|² + x²|b|² - 2x|a||b|cos120°) = √(|a|² + x²|b|² + x|a||b|)
∴(|a+xb| - |a|)/x = (√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|...
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∵
la+xb| = √(|a|² + x²|b|² - 2x|a||b|cos120°) = √(|a|² + x²|b|² + x|a||b|)
∴(|a+xb| - |a|)/x = (√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|) - |a|)/x，
= (x|b|² + |a||b|)/(√{[|a|² + x²|b|² + x|a||b|] + |a|}
∴当x→0时，lim(|a+xb|-|a|)/x =lim|(x|b|² + |a||b|)/{[√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|] + |a|}=|a||b|/2lal
=lbl/2
=1
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