已知数列{an}的首项a1=1.且点An(an.an+1)在函数y=x/x+1的图像上.求证:弦AnAn+1的斜率随n的增大增大

已知数列{an}的首项a1=1.且点An(an.an+1)在函数y=x/x+1的图像上.求证:弦AnAn+1的斜率随n的增大增大
已知数列{an}的首项a1=1.且点An(an.an+1)在函数y=x/x+1的图像上.求证:弦AnAn+1的斜率随n的增大增大

已知数列{an}的首项a1=1.且点An(an.an+1)在函数y=x/x+1的图像上.求证:弦AnAn+1的斜率随n的增大增大
An(an.an+1)在函数y=x/x+1
∴ a(n+1)=an/(an+1)
取倒数
1/a(n+1)=1/a(n)+1
∴ 1/a(n+1)-1/a(n)=1
∴ {1/a(n)}是等差数列,首项为1/a1=1,公差为1
∴ 1/an=1+(n-1)=n
∴ an=1/n
∴ 弦AnAn+1的斜率k=[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]
k=[1/(n+2)-1/(n+1)]/[1/(n+1)-1/n]
=n(n+1)/[(n+1)(n+2)]
=n/(n+2)
=1/[1+2/n]
n越大,则1+2/n越小,则1/[1+2/n]越大
∴ 弦AnAn+1的斜率随n的增大增大

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