过椭圆X^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O,当△AOB面积最大时,求直线l的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/20 04:38:34
过椭圆X^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O,当△AOB面积最大时,求直线l的方程
过椭圆X^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O,当△AOB面积最大时,求直线l的方程
过椭圆X^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O,当△AOB面积最大时,求直线l的方程
椭圆X^2/2+y^2=1
a=√2,b=1,c=1
F1(-1,0),F2(1,0)
直线L:y=k(x-1),kx-y-k=0
中心为O(0,0)到直线L的距离=|k|/√（1+k^2）
x^2/2+y^2=1
x^2+2y^2=2
x^2+2[k(x-1)]^2=2
(1+2k^2)x^2-(4k^2)x+2k^2-2=0
xA+xB=4k^2/(1+2k^2),xA*xB=(2k^2-2)/(1+2k^2)
(xA-xB)^2=(xA+xB)^2-4xA*xB=(8+8k^2)/(1+2k^2)^2
(yA-yB)^2=[k(xA-1)-k(xB-1)]^2=k^2*(xA-xB)^2
AB^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=(1+k^2)*(8+8k^2)/(1+2k^2)^2
|AB|=√[(1+k^2)*(8+8k^2)/(1+2k^2)^2]
△AOB面积:
S=(1/2)*√[(1+k^2)*(8+8k^2)/(1+2k^2)^2]*|k|/√（1+k^2）
4S^2=(8+8k^2)*k^2/(1+2k^2)^2
(16s^2-1)k^4+(16s^2-8)k^2+4s^2=0
(16s^2-8)^2-4*(16s^2-1)*4s^2≥0
S^2≤4/15
△AOB面积最大=2/√15
k^2=28/49
k=±2√7/7
直线l的方程:y=±(2√7/7)(x-1)
如果l:y=k(x+1),求法与上面的相同,方法正确,结果也应该正确,请检验一下.