设f(x)=x^3+lg(x+(x^2+1)^1/2),则对任意实数"a、b大于等于0"是"f(a)+f(b)大于等于"的什么条件

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 21:13:37
设f(x)=x^3+lg(x+(x^2+1)^1/2),则对任意实数"a、b大于等于0"是"f(a)+f(b)大于等于"的什么条件设f(x)=x^3+lg(x+(x^2+1)^1/2),则对任意实数"

设f(x)=x^3+lg(x+(x^2+1)^1/2),则对任意实数"a、b大于等于0"是"f(a)+f(b)大于等于"的什么条件
设f(x)=x^3+lg(x+(x^2+1)^1/2),则对任意实数"a、b大于等于0"是"f(a)+f(b)大于等于"的什么条件

设f(x)=x^3+lg(x+(x^2+1)^1/2),则对任意实数"a、b大于等于0"是"f(a)+f(b)大于等于"的什么条件
f(x)=x^3+lg(x+(x^2+1)^1/2),
∵ x+√(x²+1)>0的解集为R
∴f(x)的定义域为R
f(-x)+f(x)
=(-x)³+lg[(-x)+√(x²+1)]+x³+lg[x+√(x²+1)]
=lg{[√(x²+1)+x][√(x²+1)-x]}
=lg[(x²+1)-x²]
=lg1
=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
又[0,+∞)内x+√(x²+1)递增,lg[x+√(x²+1)],x³递增
∴f(x)是增函数
那么f(x)在R上是在R上是增函数
且f(0)=0
若a≥0,b≥0则f(a)≥f(0)=0,f(b)≥f(0)=0
∴f(a)+f(b)≥0
∴a≥0,b≥0是f(a)+f(b)≥0充分条件
若f(a)+f(b)≥0
则f(a)≥-f(b)
==> f(a)≥f(-b)
==>a≥-b
==>a+b≥0
∴a≥0,b≥0不是f(a)+f(b)≥0必要条件
∴a≥0,b≥0是f(a)+f(b)≥0的充分不必要条件