四面体ABCD各顶点到所对平面的距离是d1,d2,d3,d4,内切球半径为r,求证：d1+d2+d3+d4>=16r

四面体ABCD各顶点到所对平面的距离是d1,d2,d3,d4,内切球半径为r,求证：d1+d2+d3+d4>=16r
四面体ABCD各顶点到所对平面的距离是d1,d2,d3,d4,内切球半径为r,求证：d1+d2+d3+d4>=16r

四面体ABCD各顶点到所对平面的距离是d1,d2,d3,d4,内切球半径为r,求证：d1+d2+d3+d4>=16r
不妨设d1≤d2≤d3≤d4,它们所对面的面积为S1,S2,S3,S4,
由于 体积V=(1/3)S1•d1=(1/3)S2•d2=(1/3)S3•d3=(1/3)S4•d4
得 S1≥S2≥S3≥S4,从而由排序不等式,可得
(d1+d2+d3+d4)(S1+S2+S3+S4)≥4(d1•S1+d2•S2+d3•S3+d4•S4)=48V
(注：反序和≤乱序和≤正序和)
又V=(1/3)r(S1+S2+S3+S4),即
(d1+d2+d3+d4)(S1+S2+S3+S4)≥16r(S1+S2+S3+S4),
从而 d1+d2+d3+d4≥16r