已知矩形纸片ABCD,AB=2AD=1将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G,三角形AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长

已知矩形纸片ABCD,AB=2AD=1将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G,三角形AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长
已知矩形纸片ABCD,AB=2AD=1将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G,三角形AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长

已知矩形纸片ABCD,AB=2AD=1将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G,三角形AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长
这题很明显.
由于折痕是E,那么展开后,AE就被GF垂直平分,设AE与GF交于O,H就是AE的中点,GF⊥AE,因为∠D=90°,△ADE的外接圆的圆心就是E,AE是其直径.设⊙O切BC于N,GN就是梯形ECBA中位线.所以,ON=OE设ON=X=OA=OE,BN=0.25
于是O到AB的距离就是0.5,那么,√（OA^2-0.25^2）+ON=AB
√（X^2-0.25^2）+X=1 X=17/32
BN/OA=sin∠GAO=0.25÷17/32=8/17
tg∠GAO=8/15
OG=17/32*8/15=17/60
GF=17/30

需要图才行,而且要辅助线

：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=23，∠D=90°．
根据轴对称的性质，得EF=AF=23．
∴DF=AD-AF=13．
在Rt△DEF中，DE=(
23)2-(
13)2=
33．（3分）
（2）设AE与FG的交点为O．
根据轴对称的性质，得AO=EO．
取AD的中点M，连接MO．
则MO=12D...

全部展开

：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=23，∠D=90°．
根据轴对称的性质，得EF=AF=23．
∴DF=AD-AF=13．
在Rt△DEF中，DE=(
23)2-(
13)2=
33．（3分）
（2）设AE与FG的交点为O．
根据轴对称的性质，得AO=EO．
取AD的中点M，连接MO．
则MO=12DE，MO∥DC．
设DE=x，则MO=12x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD．
∴∠CNM=180°-∠C=90°．
∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．
∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-12x．
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径．
∴OE=ON=2-12x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，
∴12+x2=（4-x）2．
解这个方程，得x=158．（6分）
∴DE=158，OE=2-12x=1716．
根据轴对称的性质，得AE⊥FG．
∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=1730．
又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．
∴FG=2FO=1715．
∴折痕FG的长是1715．（9分）

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