已知 x^4+3x^3+ax^2-x+b能被x^2+x+1整除 求a,b的值 以及商式

已知 x^4+3x^3+ax^2-x+b能被x^2+x+1整除 求a,b的值 以及商式
已知 x^4+3x^3+ax^2-x+b能被x^2+x+1整除 求a,b的值 以及商式

已知 x^4+3x^3+ax^2-x+b能被x^2+x+1整除 求a,b的值 以及商式
注意到,(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1
因而,x^3-1一定是x^2+x+1的倍数.
x^4+3x^3+ax^2-x+b
=x(x^3-1)+3(x^3-1)+(ax^2+b+3)
=(x+3)(x^3-1)+(ax^2+b+3)
=(x+3)(x-1)(x^2+x+1)+(ax^2+b+3)
注意到,前一个部分是x^2+x+1的倍数,那么要求后一个部分也是x^2+x+1的倍数.
而后一部分缺少x的一次项,
因而只能
a=0
b+3=0
也就是说,
a=0
b=-3
此时,商式为(x+3)(x-1)=x^2+2x-3
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