已知a,b∈（0,π/2）,且sinb=sinacos(a+b),当tanb取最大值时,求tan(a+b)的值尽量不要复制其他人做过的答案

已知a,b∈（0,π/2）,且sinb=sinacos(a+b),当tanb取最大值时,求tan(a+b)的值尽量不要复制其他人做过的答案
已知a,b∈（0,π/2）,且sinb=sinacos(a+b),当tanb取最大值时,求tan(a+b)的值
尽量不要复制其他人做过的答案

已知a,b∈（0,π/2）,且sinb=sinacos(a+b),当tanb取最大值时,求tan(a+b)的值尽量不要复制其他人做过的答案
∵sinb=sina*cos(a+b)
∴sinb=(1/2)*[sin(2a+b)-sinb]
即 3sinb=sin(2a+b)
=sin2a*cosb+cos2a*sinb
等式两边都同时除以cosb,得
3tanb=sin2a+cos2a*tanb
则 tanb=sin2a/(3-cos2a)
=2sina*cosa/[3sin²a+3cos²a-(cos²a-sin²a)]
等式两边都同时除以cos²a,得
tanb=2tana/(4tan²a+2)
故1/tanb=2tana+1/tana≥2√[(2tana)*(1/tana)]=2√2
当且仅当2tana=1/tana,即tana=√2/2时,取得“＝”
∴1/tanb≥2√2
∴ tanb≤√2/4
即tanb的最大值为√2/4,此时tana=√2/2
因此,当tanb取得最大值时
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)
=(√2/2+√2/4)÷[1-(√2/2)×(√2/4)]
=√2