高数的一道证明题设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得2ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0

高数的一道证明题设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得2ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0
高数的一道证明题
设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得2ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0

高数的一道证明题设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得2ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0
构造g(x)=x^2 f(x),则 g(x)在[0,1] 上连续,(0,1)内可导,且g(0)=0,g(1)=0.g(x)对x的导数为g'(x)=x (2f(x)+xf'(x)).根据洛尔定理,至少存在一点ξ∈(0,1),使得ξ(2ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ))=0.因为ξ不等于0,所以2ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0.

设 F(x) = x²f(x)，则F'(x) = 2xf(x)+x²f'(x) = x(2f(x)+xf'(x))
由已知可得，F(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0
由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得 F'(ξ)=0
即 ξ(2f(ξ)+ξf'(ξ))=0，ξ≠0
有 2f(ξ)+ξf'(ξ)=0

关键是罗尔定理。