在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=90°AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC垂直平面ABCD（1）求证AB垂直平面PBC（2）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:24:04
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=90°AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC垂直平面ABCD（1）求证AB垂直平面PBC（2）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=90°AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC垂直平面ABCD
（1）求证AB垂直平面PBC
（2）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=90°AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC垂直平面ABCD（1）求证AB垂直平面PBC（2）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小
（1）
根据三维坐标系性质,证明如下：
将梯形ABCD置于X－Y平面中,B点在坐标原点,BC与Y轴重合.
∵∠ABC＝90°
∴AB与X轴重合
△BCP平面与梯形ABCD平面垂直,即与X－Y平面垂直.
∵BC与Y轴重合
∴△BCP平面在Y－Z平面上
∵在三维坐标系中,X轴与Y－Z平面垂直
∴AB与△BCP平面垂直
证毕.还有其他证明方法,此处仅供参考.
（2）
根据投影原理,分析如下：
在平面PBC上,有一束光,将P点投影到BC的E点位置,PE⊥BC.
在平面PAD上,另一束光,将P点投影到AD的F点位置,PF⊥AD.
两束光的夹角就是平面PBC和平面PAD的夹角.
连接PE、PF和EF,△PEF是直角三角形,∠EPF是该两个平面的夹角.
见图,计算如下：
在俯视图中：
BE＝CE＝CD
AE＾2＝BE＾2＋AB＾2＝5CD＾2
DE＾2＝CE＾2＋CD＾2＝2CD＾2
AD＾2＝5CD＾2
在正左视图中：
PB＝PC＝2CD PE是三角形的高
PE＾2＝PB＾2－BE＾2＝3CD＾2
PE＝√3CD
在侧前视图中：
PA＾2＝PE＾2＋AE＾2＝8CD＾2
在侧后视图中：
PD＾2＝PE＾2＋DE＾2＝5CD＾2
PD＝AD＝√5CD
在侧右视图中：
PA/Sinα＝PD／Sin[（180°－α）/2]＝PD／Cos（α/2）
[Cos（α/2）]＾2/( Sinα)＾2＝PA＾2/PD＾2＝5／8
（1＋Cosα）×4＝5×[1－（Cosα）＾2]
（1＋Cosα）×4＝5×（1＋Cosα）×（1－Cosα）
5Cosα＝1 Cosα＝1／5＝DF／PD
DF＝PD／5＝√5CD／5
DF＾2＝CD＾2／5
PF＾2＝PD＾2－DF＾2＝5CD＾2－CD＾2／5
＝24CD＾2／5
PF＝√（24／5）CD
在夹角剖面图中：
Cos（∠EPF）＝PE／PF＝√3CD/√（24／5）CD
＝√（5／8）
＝（√10）／4≈0.79
∠EPF≈37.8°
答：平面PAD和平面PBC的夹角约为37.8度.
供参考.