已知a、b、c是三角形ABC的三边,比较大小:(a+b+c)的平方比较2(ab+bc+ac)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 00:18:00
已知a、b、c是三角形ABC的三边,比较大小:(a+b+c)的平方比较2(ab+bc+ac)已知a、b、c是三角形ABC的三边,比较大小:(a+b+c)的平方比较2(ab+bc+ac)已知a、b、c是

已知a、b、c是三角形ABC的三边,比较大小:(a+b+c)的平方比较2(ab+bc+ac)
已知a、b、c是三角形ABC的三边,比较大小:(a+b+c)的平方比较2(ab+bc+ac)

已知a、b、c是三角形ABC的三边,比较大小:(a+b+c)的平方比较2(ab+bc+ac)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ac+2ab+2bc=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
又因为a>0 b>0 c>0
所以得到a²+b²+c²>0
由(a+b+c)²-2(ab+ac+bc)=a²+b²+c²>0
所以得到(a+b+c)²>2(ab+ac+bc)

(a+b+c)^=a^+b^+c^+2ab+2ac+abc>2(ab+bc+ac)

由基本不等式可得:
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ca
等号仅当a=b=c时取得
累加,整理可得
a²+b²+c²≥ab+bc+ca
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)...

全部展开

由基本不等式可得:
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ca
等号仅当a=b=c时取得
累加,整理可得
a²+b²+c²≥ab+bc+ca
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)
∵(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
∴(a+b+c)²≥3(ab+bc+ca)
又a,b,c>0.
∴ab+bc+ca>0
∴3(ab+bc+ca)>2(ab+bc+ca)
∴(a+b+c)²>2(ab+bc+ca)

收起