1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上（不与点A,O重合）,延长BP交直线AD于点F,连接EF.写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系,

1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上（不与点A,O重合）,延长BP交直线AD于点F,连接EF.写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系,
1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上（不与点A,O重合）,延长BP交直线AD于点F,连接EF.写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系,并证明你的结论.

1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上（不与点A,O重合）,延长BP交直线AD于点F,连接EF.写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系,
依题作图,设∠FBD=x,正方形边长为1,则
AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),FD=1-AF=1-tan(45-x)=2tanx/(1+tanx).PO=√2/2tanx.
因为△BFD∽△PEC,所以CE/FD=PC/BD,解得：CE=tanx.所以ED=CD-CE=1-tanx.
在此设 tanx=a,方便计算
FE*FE=FD*FD+DE*DE=[2a/(1+a)]*[2a/(1+a)]+(+(1-a)(1-a)
(AF+CE)*(AF+CE)=[(1-a)/(1+a)+a]*[(1-a)/(1+a)+a]
经计算得FE*FE=(AF+CE)*(AF+CE),所以EF=AF+CE.

xjw条件不足,无法证明是菱形,
要知道一些等腰梯形,或是不规则四边形的对角线也是互相垂直的kdo

楼主请看http://zhidao.baidu.com/question/284459454.html

第一问是DF=EF吧
（1）连接BE、PD，过点P作AD的垂线，垂足为G，
①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点，
∴点O为正方形中心，且AC平分∠DAB和∠DCB，
∵PE⊥PB，BC⊥CE，
∴B、C、E、P四点共圆，
∴∠PEB=∠PCB=45°，∠PBE=∠PCE=45°，
∴∠PBE=∠PEB=45°，
∴△PBE为等腰...

全部展开

第一问是DF=EF吧
（1）连接BE、PD，过点P作AD的垂线，垂足为G，
①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点，
∴点O为正方形中心，且AC平分∠DAB和∠DCB，
∵PE⊥PB，BC⊥CE，
∴B、C、E、P四点共圆，
∴∠PEB=∠PCB=45°，∠PBE=∠PCE=45°，
∴∠PBE=∠PEB=45°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PB=PE，
在△PAB和△PAD中有：AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，AP为公共边，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PD，
又∵PF⊥CD，
∴DF=EF；
②∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF，
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$（CE+EF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA，
即，PC、PA、CE满足关系为：PC=$\sqrt{2}$CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=$\sqrt{2}$CE．
如图：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=$\sqrt{2}$PG=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$EF，PC=$\sqrt{2}$CF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$（CE+CF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$CE+PC
即，PC、PA、CE满足关系为：PA-PC=$\sqrt{2}$CE．
希望能帮助到您！

收起