1—【1/2】的平方—【1/3】的平方—【1/4】的平方—【1/5】的平方····················会不会有负数?有是第几个?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:21:52
1—【1/2】的平方—【1/3】的平方—【1/4】的平方—【1/5】的平方····················会不会有负数?有是第几个?
1—【1/2】的平方—【1/3】的平方—【1/4】的平方—【1/5】的平方····················会不会有负数?有是第几个?
1—【1/2】的平方—【1/3】的平方—【1/4】的平方—【1/5】的平方····················会不会有负数?有是第几个?
高阶导数的概念:定义f^[n](x)=(f^[n-1](x))',f^[1](x)=f(x)',其中f^[n](x)表示f(x)的n阶导数.
根据这个定义不难求得:sin(x)'=cos(x),sin(x)''=-sin(x),sin(x)'''=-cos(x),sin(x)^[4]=sin(x).,sin(x)^[n]=sin(x+nπ/2)
从而sin(0)^[n]=sin(nπ/2),当n=2k时,sin(0)^[n]=0;当n=2k+1 时,sin(0)^[n]=sin(kπ+π/2)=(-1)^k
现在假设sin(x)=a[0]+a[1]*x+a[2]*x^2+...+a[n]*x^n+.,对等式两边求n次导数,并令x=0得到:
sin(0)^[n]=a[n]*n!,从而a[n]=sin(0)^[n]/n!
所以sin(x)=x-x^3/3!-x^5/5!+.+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!+Rn(x),其中Rn(x)为余项,可以证明lim[n->∞]Rn(x)=0;
考察方程sin(x)/x=0,解得x=kπ,k=±1,±2,±3,.
也就是说多项式f(x)=1-x^2/3!+..+(-1)^n*x^2n/(2n+1)!+Rn(x)/x=0的解为 x=kπ,k=±1,±2,±3,.
定理:lim[n->∞](1+1/2²+..+1/n²)=π²/6
考虑(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)...(x-kπ)(x+kπ)=0(x²-π²) (x²-2²π²)...(x²-k²π²)=0
即(1-x²/π²)(1-x²/(2²π²)).(1-x²/(k²π²))=0
二次项系数b[2]=-(1+1/2²+1/3²+...+1/k²)/π²
现将1-x^2/3!+..+(-1)^n*x^2n/(2n+1)!+.表示为解累乘的形式(1-x²/π²)(1-x² /(2²π²)).(1-x²/(k²π²)).
后者展开式中二次项系数b[2]=lim[k->∞](-(1+1/2²+1/3²+...+1/k²)/π²)
所以lim[k->∞](1+1/2²+1/3²+...+1/k²)=-b[2]*π²=π²/3!=π²/6
即1/2²+1/3²+...+1/k²=π²/6 -1 小于 1
所以不会出现负数.
1-(1/2)^2-(1/3)^2-(1/4)^2-(1/5)^2-…-(1/n)^2
＞1-1/(1×2)-1/(2×3)-1/(3×4)-1/(4×5)-…-1/[(n-1)×n]
=1-[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(n-1)-1/n]
=1-(1-1/n)
=1/n＞0
所以不会出现负数
1＋1/2²＋1/3²＋ … ＋1/n²→π²/6 <2
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
不会有负数