如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.（I）求证：BD⊥FG；（II）确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 12:23:05
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.（I）求证：BD⊥FG；（II）确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由.
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.
（I）求证：BD⊥FG；
（II）确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由.
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.（I）求证：BD⊥FG；（II）确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由.
(1)ABCD是正方形,所以BD⊥ AC
PA⊥面ABCD,BD在面ABCD上,所以PA⊥ BD
AC,PA都是面PAC 上的直线,所以BD⊥面PAC
FG是面PAC 上的直线,所以BD⊥FG
（2）分别做FG// PD交CD于F',FH// PB交CB于H',连接F'H',交AC于G'
易证面FF'H'//面PBD
FG'是面FF'H'上的直线,所以FG'//平面PBD
则G'即是G,是EC 的中点
证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG⊂平面PAC，
∴BD⊥FG（7分）
解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=34AC时，
FG∥平面PBD，（9分）
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，<...
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证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG⊂平面PAC，
∴BD⊥FG（7分）
解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=34AC时，
FG∥平面PBD，（9分）
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG⊂平面PBD，PE∥平面PBD，
故FG∥平面PBD．（13分）
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