证明∫（-a,a）f（x）d（x）=∫（-a,a）f（-x）d（x）,并计算∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^x)d(x)

证明∫（-a,a）f（x）d（x）=∫（-a,a）f（-x）d（x）,并计算∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^x)d(x)
证明∫（-a,a）f（x）d（x）=∫（-a,a）f（-x）d（x）,并计算∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^x)d(x)

证明∫（-a,a）f（x）d（x）=∫（-a,a）f（-x）d（x）,并计算∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^x)d(x)
做变量替换：x=-t,则:
∫（-a,a）f（-x）d（x）=∫（a,-a）f（t）d（-t）=-∫（a,-a）f（t）d（t)=∫（-a,a）f（t）d（t)
证毕
由上述结论知：
∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^x)d(x)=∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^（-x）)d(x)
=∫（-π/4,π／4）e^x (cosx)^2／(1+e^x)d(x)（分子分母同乘以e^x）
所以
2∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^x)d(x)
=∫（-π/4,π／4）(cosx)^2／(1+e^x)d(x)+∫（-π/4,π／4）e^x (cosx)^2／(1+e^x)d(x)
=∫（-π/4,π／4） (cosx)^2d(x)
而∫(cosx)^2d(x)=∫（cos2x+1)d(x)/2=(sin2x)/4+x/2+C
故原积分=π／8+1／4.