根号下(ax^2+bx+c ) 的不定积分

根号下(ax^2+bx+c ) 的不定积分
根号下(ax^2+bx+c ) 的不定积分

根号下(ax^2+bx+c ) 的不定积分
这...：
(2ax+b)/4a*(根号下ax^2+bx+c)+(4ac-b^2)/8(根号下a^3)*ln|2ax+b+2*根号a*根号(ax^2+bx+c)|+c

用MATLAB一步就解决
syms a b c x;
f=int(sqrt(a*x^2+b*x+c),x)
后面是答案
f =

(x/2 + b/(4*a))*(a*x^2 + b*x + c)^(1/2) + (log((b/2 + a*x)/a^(1/2) + (a*x^2 + b*x + c)^(1/2))*(- b^2/4 + a*c))/(2*a^(3/2))

(2ax+b)/4a*(根号下ax^2+bx+c)+(4ac-b^2)/8(根号下a^3)*ln|2ax+b+2*根号a*根号(ax^2+bx+c)|+c

计算这个过程比较繁复：
∫ √(ax²+bc+c) dx,先来个完全平方
=∫ √[(√ax+b/(2√a))²+(4ac-b²)/(4a)] dx
令u=√ax+b/(2√a),du=√a dx
=1/√a*√[u²+(4ac-b²)/(4a)] du
令t=2u/[√(4ac-b²)/a],dt...

全部展开

计算这个过程比较繁复：
∫ √(ax²+bc+c) dx,先来个完全平方
=∫ √[(√ax+b/(2√a))²+(4ac-b²)/(4a)] dx
令u=√ax+b/(2√a),du=√a dx
=1/√a*√[u²+(4ac-b²)/(4a)] du
令t=2u/[√(4ac-b²)/a],dt=2/√[(4ac-b²)/a] du
=c/√a-b²/(4a^3/2)*∫√(1+t²) dt
令t=tanp,dt=sec²p dp
√(1+t²)=secp
=c/√a-b²/(4a^3/2)-∫sec³p dp
=c/√a-b²/(4a^3/2)-(1/2)[secp*tanp+ln|secp+tanp|]+C
之后便是逐个代回下面3个换元，最麻烦了
p=arctan(t)
t=2u/√[(4ac-b²)/a]
u=√ax+b/(2√a)
最后得出答案为：
1/(8a^3/2)*{2√a*(2ax+b)√(ax²+bx+c)-(b²-4ac)ln[2√a*√(ax²+bx+c)+2ax+b]}+C

收起