用数学归纳法证明1+2+2²+···+2n-1次方=2n次方-1要详解

用数学归纳法证明1+2+2²+···+2n-1次方=2n次方-1要详解
用数学归纳法证明1+2+2²+···+2n-1次方=2n次方-1
要详解

用数学归纳法证明1+2+2²+···+2n-1次方=2n次方-1要详解
n=1,1=2^1-1
n=2,1+2=2^2-1;
:
假设n=N,1+2+2^2+...+2^(N-1)=2^N-1成立,则
当n=N+1,
1+2+2^2+...+2^(n-1)=1+2+2^2+...+2^(N-1)+2^N=2^N-1+2^N=2*2^N-1=2^(N+1)-1=2^n-1
所以

1）当n=1时，等式成立
2）假设当n=k时等式成立，即有1+2+…+2^(k-1)=2^k-1,(k>=2)
则当n=k+1时，有1+2+…+2^(k-1)+2^k=2^k-1+2^k=2x2^k-1=2^(k+1)-1，即当n=k+1时，等式也成立
∴所求证等式成立