若不等式t/（t²+2）≤a≤（t+2）/t²,在t∈﹙0,2]上恒成立,则a的取值范围是?求详解

若不等式t/（t²+2）≤a≤（t+2）/t²,在t∈﹙0,2]上恒成立,则a的取值范围是?求详解
若不等式t/（t²+2）≤a≤（t+2）/t²,在t∈﹙0,2]上恒成立,则a的取值范围是?求详解

若不等式t/（t²+2）≤a≤（t+2）/t²,在t∈﹙0,2]上恒成立,则a的取值范围是?求详解
令f(t)=t/(t²+2),g(t)=(t+2)/t²,t∈﹙0,2]
则不等式 f(t)≤a≤g(t),在t∈﹙0,2]上恒成立,等价于
[f(t)]max≤a≤[g(t)]min,t∈﹙0,2]
因为f(t)=t/(t²+2)=1/(t+2/t)≤1/[2√(t•2/t)]=1/(2√2)=√2/4,
所以,当且仅当 t=2/t,即t=√2时,f(t)有最大值为√2/4；
又 g(t)=(t+2)/t²=1/t+2/t² 在t∈﹙0,2]是减函数,从而最小值为g(2)=1
所以 √2/4≤a≤1
a的取值范围是[√2/4,1]

你好
这个题目可以先分别求出t/(t²+2)和(t+2)/t²的范围，再求出a的范围
先求t/(t²+2)的范围，t/(t²+2)=1/(t+2/t)而t∈﹙0,2],则t+2/t∈[2√2，+∞）
则t/(t²＋2﹚∈(0,√2/4]
再求(t+2)/t²的范围，由于1/t∈[1/2,+∞)则(t+2)/...

全部展开

你好
这个题目可以先分别求出t/(t²+2)和(t+2)/t²的范围，再求出a的范围
先求t/(t²+2)的范围，t/(t²+2)=1/(t+2/t)而t∈﹙0,2],则t+2/t∈[2√2，+∞）
则t/(t²＋2﹚∈(0,√2/4]
再求(t+2)/t²的范围，由于1/t∈[1/2,+∞)则(t+2)/t²=1/t+2/t²∈[1,+∞)
由于a在t∈﹙0,2]上恒成立，则a∈[√2/4,1]

收起