已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an^2+n-4,(1)求证an为等差数列 (2)求an的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:32:13
已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an^2+n-4,(1)求证an为等差数列(2)求an的通项公式已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an^2+n-4,(

已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an^2+n-4,(1)求证an为等差数列 (2)求an的通项公式
已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an^2+n-4,(1)求证an为等差数列 (2)求an的通项公式

已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an^2+n-4,(1)求证an为等差数列 (2)求an的通项公式
因为2Sn=an^2+n-4,所以2S(n-1)=a(n-1)²+n-1-4.
两式相减2an=an^2-a(n-1)²+1,a(n-1)²=an^2-2an+1=(an-1)²
因为各项都是正数,所以a (n-1)=a n - 1.令n=1,2a1=a1²+1-4,a1=3.
所以{an}是以a1=3为首项,d=1为公差的等差数列.
an=n+2.

(1)2Sn=an^2+n-4
2Sn-1=(an-1)^2+(n-1)-4
2an=an^2-an-1^2+1
(an-1)^2=an-1^2 注右边是第n-1项的平方
an=an-1+1 an为等差数列
(2)当n=1时a1^2-2a1-3=0 a1=3
an=n+2