已知圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称,且以PQ为直的圆经过原点(1)求m的值(2)求直线PQ的方程

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 17:20:45
已知圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称,且以PQ为直的圆经过原点(1)求m的值(2)求直线PQ的方程已知圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0

已知圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称,且以PQ为直的圆经过原点(1)求m的值(2)求直线PQ的方程
已知圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称,且以PQ为直的圆经过原点
(1)求m的值
(2)求直线PQ的方程

已知圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称,且以PQ为直的圆经过原点(1)求m的值(2)求直线PQ的方程
(1)x^2+y^2+2mx-6my+1=0
(x+m)^2+(y-3m)^2=10m^2-1
即圆心为(-m,3m),
因为圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称,
所以 圆心在直线上,即
-m-3m+4=0
4m=4
m=1
(2)圆的方程为(x+1)^2+(y-3)^2=9
∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=-x+b,
y1=-x1+b
y2=-x2+b
将直线y=-x+b代入圆方程,得2x^2+2(4-b)x+b^2-6b+1=0,
△=4(4-b)^2-8(b^2-6b+1)>0
2-3√2<b<2+3√2
由韦达定理得,
x1+x2=b-4
x1x2=(b^2-6b+1)/2
y1y2=(b-x1)(b-x2)=b^2-b(x1+x2)+x1x2
=(b^2-6b+1)/2+4b
又OP⊥OQ
即x1x2+y1y2=0,
所以(b^2-6b+1)/2+(b^2-6b+1)/2+4b=0
即b^2-2b+1=0
解得,b=1∈(2-3√2,2+3√2)
∴所求的直线方程为y=-x+1.

(1)由圆C:x2+y2+2mx-6my+1=0配方可得:(x+m)^2+(y−3m)^2=8m^2-1

解析:
(1)由圆C:x2+y2+2mx-6my+1=0配方可得:(x+m)^2+(y−3m)^2=10m^2-1
知:圆心C(−m,3m),半径为根号(10m^2-1),记为r.
∵圆C上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称,则直线必过圆心C.
将C点坐标代入直线方程,-m-3m+4=0
解得:m=1,从而圆C的半径r=3...

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解析:
(1)由圆C:x2+y2+2mx-6my+1=0配方可得:(x+m)^2+(y−3m)^2=10m^2-1
知:圆心C(−m,3m),半径为根号(10m^2-1),记为r.
∵圆C上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称,则直线必过圆心C.
将C点坐标代入直线方程,-m-3m+4=0
解得:m=1,从而圆C的半径r=3.
(2)由(1)可知圆C:(x+1)2+(y-3)2=9 ①
依题意,直线PQ与直线x-y+4=0垂直,故直线PQ的斜率kPQ=-1
故设直线PQ方程为:y=-x+b ②
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由①,②联立,可得:2x2-(2b-8)x+b2-6b+1=0
由韦达定理,x1+x2=b-4,x1•x2=(b2−6b+1)/2
∴y1•y2=(-x1+b)(-x2+b)=x1x2−b(x1+x2)+b2=[b2+2b+1]/2
又∵OP⊥OQ
∴x1x2+y1y2=0⇒b2-2b+1=0⇒b=1.
故直线PQ的方程为:x+y-1=0

收起

(x+m)^2+(y−3m)^2=10m^2-1
∵圆C上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称,直线x-y+4=0是垂直平分线
必经过圆心,将C点坐标代入直线方程,-m-3m+4=0 m=1圆C的半径r=3.
∵以PQ为直径的圆经过原点,直径所对圆周角为90度
∴OP⊥OQ
设直线PQ方程为:y=-x+b
代入圆方程2x&...

全部展开

(x+m)^2+(y−3m)^2=10m^2-1
∵圆C上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称,直线x-y+4=0是垂直平分线
必经过圆心,将C点坐标代入直线方程,-m-3m+4=0 m=1圆C的半径r=3.
∵以PQ为直径的圆经过原点,直径所对圆周角为90度
∴OP⊥OQ
设直线PQ方程为:y=-x+b
代入圆方程2x²-(2b-8)x+b2-6b+1=0
x1•x2=(b2−6b+1)/2
y1•y2=(-x1+b)(-x2+b)=x1x2−b(x1+x2)+b2=[b2+2b+1]/2
∵OP⊥OQ
∴斜率相互垂直y1-0/x1-0=-(y2-0/x2-0)
x1x2+y1y2=0⇒b2-2b+1=0⇒b=1.
直线PQ的方程为:x+y-1=0

收起

m=-1,但是P、Q无解

(1) 圆C:x^2+y^2+2mx-6my+1=0,  (x+m)^2+(y-3m)^2=10m^2-1,

       圆心点C的坐标为(-m,3m) ,  圆C半径的平方=10m^2-1,

       圆C上有P、Q两点关于直线x-y+4=0对称,则圆心C(-m,3m)必在直线x-y+4=0上,

       所以: -m-3m+4=0, m=1.

      (2)  m=1,  点C的坐标为(-1,3),  圆C的半径= 根号下(10m^2-1)=3.

       如图:

               

     点P、Q关于直线y=x+4对称,直线PQ与直线y=x+4垂直,以PQ为直径的圆(暂时记为圆A)   

     的圆心A是直线PQ与直线y=x+4的交点,令圆心A的坐标为(x,x+4), 圆A过点原点O, 线段 

     AO、AP是圆A的半径, AO=AP,AO^2=AP^2,  

    在圆C中,CP是半径,CP=3,AP^2=CP^2-CA^2,  所以 CP^2-CA^2=AO^2,

    3^2-[(-1-x)^2+(3-x-4)^2]=x^2+(x+4)^2,   解得x=-3/2, x+4=5/2,  点A坐标为(-3/2,5/2),

    直线PQ与直线y=x+4垂直,直线PQ的斜率为-1,令直线PQ的解析式为y=-x+b, 点A在直线PQ   

   上, 5/2=-(-3/2)+b,  b=1,

    所以直线PQ的解析式为  y=-x+1,  即 x+y-1=0.

    (利用垂径定理,与两点间距离公式求解,方法易懂,计算量较小)

    

    望采纳!

    

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