已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.28n平方+1在根号下

已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.28n平方+1在根号下
已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.
28n平方+1在根号下

已知n是整数,求证:如果2+2根号28n^2+1也是整数,那么它一定是一个整数的完全平方.28n平方+1在根号下
证明：2+2根号28n^2+1他是完全平方数只有一个可能既为4
利用分解因式,分类讨论证明
证明：假如它是一个完全平方数
那么28n^2+1也是一个完全平方数
28n^2+1=a^2 ,a是非负整数
28n^2=a^2-1=(a+1)(a-1)
28n^2=2*2*7*n*n=(a+1)(a-1)
当(a+1)(a-1)≠0即a≠1时
讨论,2,2,7,n,n五个数字各自相乘组成两组数字相乘,
这两组数字之差的绝对值等于2
例如|2*2*7-n*n|=2 =>n=5至6之间的一个数（非整数）不符合
|2*7n-2*n|=12n=2 =>n=1/6也不符合
.
其他的你自己组合出来讨论,反正都不符合
当a=1时n=0
所以28n^2+1等于一个完全平方数时只能是等于1
原式为一个整数时他一定是一个完全平方数2+2根号1=4
得证!

没明白你的题目：2+2根号28n^2+1？

设2+2根号28n^2+1=a为整数,化简得
28n^2+1=[(a-2)/2]^2,
根据条件28n^2+1为完全平方数即整数，所以等式右边是整数，a就是偶数，不妨设a=2b，上式化简得
28n^2=b(b-2),
左边为4的倍数，右边b和b-2奇偶性相同，必然都是偶数，不妨设b=2k，上式化简得
7n^2=k(k-1)，这时带入原式，可得2+2根号28n...

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设2+2根号28n^2+1=a为整数,化简得
28n^2+1=[(a-2)/2]^2,
根据条件28n^2+1为完全平方数即整数，所以等式右边是整数，a就是偶数，不妨设a=2b，上式化简得
28n^2=b(b-2),
左边为4的倍数，右边b和b-2奇偶性相同，必然都是偶数，不妨设b=2k，上式化简得
7n^2=k(k-1)，这时带入原式，可得2+2根号28n^2+1=4k
熟知，k与k-1必然互质，而右边包含一个n^2,也就是说看k(k-1)分解质因数的结果必然是除一个7以外其他的质因子成对出现。每一对质因子不能由k和k-1平分，否则k和k-1就不互质。所以所有成对的质因子都分别有k或k-1单独拥有，而落单的一个7由两者之一包含，所以k或k-1必然有一个是完全平方数。
但k-1不可能是完全平方数，因为所有整数的完全平方数除7的余数是0,1,2,3,4,5,6，则所有整数的平方除7的完全平方数就是这7个余数的平方除7的余数，即0,1,4,2,2,4,1，即0、1、2、4,
根据上一段的分析，若k-1是完全平方数，则k就是7的倍数，但根据上面的余数规律，完全平方数加1后除7的余数只能是1、2、3、5，不可能被7整除，
而k是完全平方数时，当k除7余1时，k-1是7的倍数，是符合条件的
综上，k一定是完全平方数，所以4k一定是完全平方数，即2+2根号28n^2+1一定是整数的完全平方
事实上，n可以为0、24等，我不知道还有没有其他解，这个是另外的问题了

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