正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=∠C=90°,AP=AB+CP,AF是∠BAP的平分线,M是CD的中点.求证：∠BAF=∠DAM.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:19:19
正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=∠C=90°,AP=AB+CP,AF是∠BAP的平分线,M是CD的中点.求证：∠BAF=∠DAM.
正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=∠C=90°,AP=AB+CP,AF是∠BAP的平分线,M是CD的中点.求证：∠BAF=
∠DAM.
正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=∠C=90°,AP=AB+CP,AF是∠BAP的平分线,M是CD的中点.求证：∠BAF=∠DAM.
在AP上截取AE=AB,则PE=PC,
∵AF平分∠BAP,∴∠BAF=∠EAF
又∵AB=AE,AF=AF,∴△ABF≌△EAF(SAS)
∴BF=EF ,∠AEF=∠B=90°
在Rt△FEP和Rt△FCP中,PE=PC,FP=FP
∴Rt△FEP≌Rt△FCP(HL) ∴FE=FC
∴BF=FC ∴BF=DM
又∵AB=AD,∠B=∠D=90°
∴△ABF≌△ADM(SAS) ∴∠BAF=∠DAM
首先做一个辅助线：做FK垂直于AP. 我们接下来要做的几个大步骤就是： 1：先证明三角形ABF全等于三角形AKF。 从而得到BF=FK； 2：再证明三角形PKF全等于三角形PCF。 从而得到CF=FK； 3：综上所述得到BF = CF。也就是说F是BC边的中点。 4：再边角边可以得到三角形ABF全等于三角形ADM。 5：做出结论要证明的两个角相等。 具体的我感觉不用写了吧。这样已经挺清楚了。
过F作EF垂直于AP于点E，因为AP是角平分线，所以三角形ABF全等于三角形AEF，所以EF=BF，以因为AP=AB+CP，所以EP=CP，且∠FEP=∠C=90°，FP为公共边，所以三角形FEP全等于三角形FCP，所以FC=FE,所以BF=CF，即F为BC的中点，所以∠BAP=∠DAM