已知P是正方形ABCD内的一点,P到顶点A,B,C的距离分别为1,2,3,求边长.已知三角形ABC的三内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,若a²=b(b+c),是否存在A=2B成立?请说明理由.

已知P是正方形ABCD内的一点,P到顶点A,B,C的距离分别为1,2,3,求边长.已知三角形ABC的三内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,若a²=b(b+c),是否存在A=2B成立?请说明理由.
已知P是正方形ABCD内的一点,P到顶点A,B,C的距离分别为1,2,3,求边长.
已知三角形ABC的三内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,若a²=b(b+c),是否存在A=2B成立?请说明理由.

已知P是正方形ABCD内的一点,P到顶点A,B,C的距离分别为1,2,3,求边长.已知三角形ABC的三内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,若a²=b(b+c),是否存在A=2B成立?请说明理由.
1.设正方形ABCD的边长为a
设PAB以P为顶点的高为b
设PBC以P为顶点的高为c
1

绕点B旋转△APB，使AB与BC重合，p与点Q重合。连接PQ。
则易证△PBQ是等腰直角三角形，
PQ＝2根号2
根据勾股定理的逆定理，得∠PQC＝90°。
∴∠APB＝∠BQC＝135°
过点A作AM⊥BP交延长线于点M，
则△APM是等腰直角三角形，
可得，AM＝PM＝根号2/2
∴BM＝2+根号2/2
...

全部展开

绕点B旋转△APB，使AB与BC重合，p与点Q重合。连接PQ。
则易证△PBQ是等腰直角三角形，
PQ＝2根号2
根据勾股定理的逆定理，得∠PQC＝90°。
∴∠APB＝∠BQC＝135°
过点A作AM⊥BP交延长线于点M，
则△APM是等腰直角三角形，
可得，AM＝PM＝根号2/2
∴BM＝2+根号2/2
在△ABM中，根据勾股定理
AB＝根号（AM＾2＋BM＾2）＝根号下（5＋2√2）
——————————————这题报纸上光有答案，没步骤- =
又找到一个利用坐标系的方法..
以B→C为x轴正方向，B→A为y轴正方向建立直角坐标系。
设正方形ABCD边长为a(√5则B(0,0)、A(0,a)、C(a,0),且有方程组：
|BP|^2=x^2+y^2=4 ①
|AP|^2=x^2+(y-a)^2=1，即2ay-a^2=3 ②
|CP|^2=(x-a)^2+y^2=9，即-2ax+a^2=5 ③
②+③: 2a(y-x)=8，即y-x=4/a ④
②-③: 2a(x+y)-2(a^2)=-2，即x+y=(a^2-1)/a ⑤
④^2+⑤^2=2(x^2+y^2)=(16/a^2)+[(a^2-1)^2]/(a^2)=8
令s=a^2，则s为正方形的面积，上式化简为：
16+(s-1)^2=8s
解得：s=5+2√2(舍去5-2√2)
注：正方形ABCD边长为a的取值范围比较麻烦，需要过P作AB、BC的垂线PE、PF，然后设|PF|=t并通过勾股定理慢慢算得，中间可得√5计算a的取值范围可以帮助最后舍去s=5-2√2
————————————————
cosB=(a*a+c*c-b*b)/(2ac)=（b+c)/(2a)
所以，2a*cosB=b+c
即2sinAcosB=sinB+sinC
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
带入得sinB=sin(A-B)
因为A、B的取值范围
所以B=A-B
所以，A=2B
————————这题也有答案
是数学报第一期吧？
伤感
我们作业貌似一样..

收起

1.设正方形ABCD的边长为a
设PAB以P为顶点的高为b
设PBC以P为顶点的高为c
1可得:
b平方+c平方=4
b平方+(a-c)平方=1
c平方+(3-b)平方=9
易得b=2/3 c=4*根号2/3 a=根号5/3+4*根号2/3或a=-根号
5/3+4*根号2/3
2.
余弦定理：

全部展开

1.设正方形ABCD的边长为a
设PAB以P为顶点的高为b
设PBC以P为顶点的高为c
1可得:
b平方+c平方=4
b平方+(a-c)平方=1
c平方+(3-b)平方=9
易得b=2/3 c=4*根号2/3 a=根号5/3+4*根号2/3或a=-根号
5/3+4*根号2/3
2.
余弦定理：
cosB=(a*a+c*c-b*b)/(2ac)=(代入条件)=(b+c)/(2a)
即，
2a*cosB=b+c
正弦定理，上式可变为
2sinAcosB=sinB+sinC
三角形中，
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
带入前式得
sinB=sin(A-B)
根据三角形的性质，只有
B=A-B
所以，A=2B
哈哈
绕点B旋转△APB，使AB与BC重合，p与点Q重合。连接PQ。
则易证△PBQ是等腰直角三角形，
PQ＝2根号2
根据勾股定理的逆定理，得∠PQC＝90°。
∴∠APB＝∠BQC＝135°
过点A作AM⊥BP交延长线于点M，
则△APM是等腰直角三角形，
可得，AM＝PM＝根号2/2
∴BM＝2+根号2/2
在△ABM中，根据勾股定理
AB＝根号（AM＾2＋BM＾2）＝根号下（5＋2√2）
——————————————这题报纸上光有答案，没步骤- =
又找到一个利用坐标系的方法..
以B→C为x轴正方向，B→A为y轴正方向建立直角坐标系。
设正方形ABCD边长为a(√5则B(0,0)、A(0,a)、C(a,0),且有方程组：
|BP|^2=x^2+y^2=4 ①
|AP|^2=x^2+(y-a)^2=1，即2ay-a^2=3 ②
|CP|^2=(x-a)^2+y^2=9，即-2ax+a^2=5 ③
②+③: 2a(y-x)=8，即y-x=4/a ④
②-③: 2a(x+y)-2(a^2)=-2，即x+y=(a^2-1)/a ⑤
④^2+⑤^2=2(x^2+y^2)=(16/a^2)+[(a^2-1)^2]/(a^2)=8
令s=a^2，则s为正方形的面积，上式化简为：
16+(s-1)^2=8s
解得：s=5+2√2(舍去5-2√2)
注：正方形ABCD边长为a的取值范围比较麻烦，需要过P作AB、BC的垂线PE、PF，然后设|PF|=t并通过勾股定理慢慢算得，中间可得√5计算a的取值范围可以帮助最后舍去s=5-2√2
————————————————
cosB=(a*a+c*c-b*b)/(2ac)=（b+c)/(2a)
所以，2a*cosB=b+c
即2sinAcosB=sinB+sinC
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
带入得sinB=sin(A-B)
因为A、B的取值范围
所以B=A-B
所以，A=2B
————————这题也有答案
是数学报第一期吧？
伤感
我们作业貌似一样..

收起

很高很高很高很